demostrar (o refutar) que $|e^{-ihx} - 1|/|h| \leq |x|$

Question

Para $h>0,x\in \mathbb{R}$ demostrar (o refutar) que $|e^{-ihx} - 1|/|h| \leq |x|$ .

He intentado utilizar el teorema de Taylor para funciones de valor complejo, que dice que $e^{-ihx} = \sum_{k\ge 0} (-ihx)^k/k! $ pero no consigo justificar formalmente por qué el valor absoluto del término resultante sería como máximo $x$ . Sé que la expresión es la magnitud de la derivada compleja de $e^{-ihx}$ en $0$ con respecto a h, que es $-ix$ pero no estoy seguro de que sea útil.

Answer 1

Para todos $a \in \mathbb{R}$ ,

$ |e^{-ia}-1|^2 = |(\cos a - 1) - i\sin a|^2 = (\cos a-1)^2 + \sin^2 a = 2-2\cos a = 4\sin^2(\frac a2)\leq 4(\frac{a}{2})^2 = a^2 \Rightarrow |e^{-ia}-1| \leq |a|.$

Ahora pon $a=h\,x$ y nosotros la desigualdad deseada.

Aquí he utilizado la ecuación trigonométrica

$$ 1-\cos a = 2\,\sin^2(\frac a2),$$

y la desigualdad

$$ \sin^2 a \leq a^2.$$