Preparado: Dejemos que $k$ sea un campo, y que $n$ sea un número entero positivo, y que $R := k[[x_1,\ldots,x_n]]$ denotan el anillo conmutativo de series de potencias formales sobre $k$ en $x_1,\ldots,x_n$ . Sabemos que existe exactamente un ideal maximal para $R$ , a saber $\langle x_1,\ldots,x_n \rangle$ .
Al localizar en los múltiplos de la $x_1,\ldots,x_n$ podemos construir un anillo de series de Laurent multivariable $L$ . En particular, $L$ es igual al anillo de series de la forma $$\sum _{m_1,\ldots,m_n \in \mathbb{Z}} \quad \lambda _{(m_1,\ldots,m_n)} \; x^{m_1}\cdots x^{m_n},$$ para $\lambda_{(m_1,\ldots,m_n)} \in k$ pero con $\lambda _{(m_1,\ldots,m_n)} = 0$ cuando el mínimo del $m_1,\ldots,m_n$ es $\ll 0$ .
Cuando $n = 1$ es bien sabido que $L$ es un campo. Sin embargo, para $n > 1$ la situación es más sutil. Por ejemplo, cuando $n=2$ los ideales de la forma $\langle x_1 - \mu x_2 \rangle$ para un valor no nulo $\mu \in k$ son ideales máximos.
Mi pregunta general: ¿Alguien conoce una descripción explícita de los ideales máximos de $L$ , para $n > 1$ ?
Una pregunta más refinada: Supongamos que $k$ es algebraicamente cerrado. Consideremos el anillo de polinomios de Laurent $P := k[x_1^{\pm 1},\ldots,x_n^{\pm 1}]$ y que $H$ denotan el multiplicativo $n$ -toro $(k^\times)^n$ .
Existe una acción natural de $H$ en $P$ obtenido a través de $$(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)\cdot x_i = \alpha_ix_i,$$ para $(\alpha_1,\ldots,\alpha_n) \in H$ . La acción de $H$ en $P$ induce una acción de $H$ en el espectro máximo de $P$ y se deduce de la Nullstellensatz de Hilbert que hay exactamente una $H$ -órbita de ideales máximos.
Así que la pregunta refinada es: Considere la acción análoga de $H$ en $L$ . ¿Hay un número finito o infinito de $H$ -de los ideales máximos de $L$ ?
Mi propia motivación: Estos anillos conmutativos de la serie de Laurent aparecen como subálgebras centrales de $q$ -anillos de series de Laurent conmutativos (es decir, series de Laurent formales donde $x_i x_j = q_{ij}x_j x_i$ para escalares adecuados $q_{ij}$ ). En un trabajo conjunto con Linhong Wang, he estudiado $q$ -computativa y anillos de series de Laurent. Las propiedades de los ideales primos y primitivos en estas álgebras no conmutativas están fuertemente influenciadas por el comportamiento de estas subálgebras centrales.
Gracias por su tiempo. Cualquier sugerencia o referencia es muy apreciada.
