Se dice que nuestra actual base de matemáticas son los axiomas de ZFC.
Pregunta: ¿Dónde están estos axiomas en la matemática? ¿Cuándo utilizarlas? Ahora han estudiado matemáticas durante un año y todavía tienen que ejecutar en una sola de estas axiomas ZFC. ¿Cómo puede ser esto si se supone para ser la base para todo lo que he hecho hasta ahora?
Creo que esta es una muy buena pregunta. No tengo tiempo ahora para escribir una respuesta completa, pero voy a hacer un par de puntos rápidos (y voy a agregar más cuando tengo la oportunidad):
La mayoría de las matemáticas no es hecho en ZFC. La mayoría de las matemáticas, de hecho, no se hace axiomáticamente en todo: en lugar de, simplemente hacemos uso de las proposiciones que parecen "intuitivamente obvio" sin comentarios. Esto es cierto incluso cuando parece que estamos siendo riguroso: por ejemplo, cuando nos definir formalmente los números reales en un análisis real de la clase (por secuencias de Cauchy, Dedekind cortes, o sin embargo), nosotros (por lo general) no se establece una lista de axiomas de la teoría de conjuntos que estamos usando para ello. La razón es, que los hechos acerca de los conjuntos que necesitamos parecen ser totalmente tame: por ejemplo, que la intersección de dos conjuntos es un conjunto.
ZFC surgió en respuesta a una necesidad histórica. La historia moderna de la lógica es fascinante, y no quiero hacerlo de la injusticia; permítanme decir (salvajemente simplificando) que usted realmente sólo necesita axiomatize matemáticas si hay un peligro real de que distintas personas, utilizando diferentes axiomas implícitamente, sin darse cuenta de ello. Un ejemplo aquí es el axioma de elección, lo cual es muy razonable que la gente alternativamente encontrar perfectamente intuitiva y claramente falso. Así que ZFC, muy a grandes rasgos, ganado el puesto de ser el "default" sistema de axiomas para las matemáticas: eres perfectamente libre de demostrar teoremas usando (decir) NF en su lugar, pero se considera de izquierda, si no dicen explícitamente que es lo que están haciendo. Hay razones para preferir algún otro sistema de ZFC? Yo soy muy pro-ZFC persona, pero incluso yo tendría que decir que sí. El punto no es que ZFC es perfecto, sin embargo; es que es lo suficientemente fuerte como para abordar la gran mayoría de nuestros matemáticos necesidades, además de ser bastante razonable que no causa grandes problemas la mayoría del tiempo. Esta fuerza, por cierto, es crucial: no queremos tener que mantener la actualización de nuestro marco axiomático que nos permiten realizar operaciones básicas de las matemáticas, de manera excesiva en términos de fuerza es (yo diría) preferible (el contra-argumento es que overshooting corre un mayor riesgo de inconsistencia; pero ese es un tema para una pregunta diferente, o al menos un poco más tarde, cuando tengo más tiempo para escribir).
Incluso en la ZFC contexto, ZFC es generalmente una exageración. OK, digamos que usted compra la ZFC echada de ventas (yo lo hice y me encanta la cortesía tostadora!). Entonces usted tiene alguna clase de teoremas que quiero probar, y después de expresar en el lenguaje de ZFC (que es, francamente, un proceso tedioso, y una de las prácticas objeciones a ZFC que surge de esto) - proceder a probar a partir de los axiomas de ZFC. Pero luego te das cuenta de que no uso la mayoría de los axiomas de ZFC en todo! De hecho, esta es la norma de reemplazo sobre todo es excesivo en la mayoría de las situaciones. Esto no es un problema, sin embargo: ZFC no pretende ser mínima, en cualquier sentido. Y de hecho, el estudio de lo que son los axiomas necesarios para demostrar que un determinado teorema es muy rica: ver, por ejemplo, la inversa de las matemáticas.
Tl;dr: yo diría que la frase "ZFC es la base de las matemáticas modernas", mientras ampliamente correcta, se esconde un montón de contexto. En particular:
La mayoría del tiempo no va a ser en realidad el uso de los axiomas.
ZFC reclamación a la fama es principalmente sociológico-histórico; nosotros igual podría haber ido con NF, o algo completamente diferente.
Los axiomas de ZFC son ampliamente dominado por la mayoría de las matemáticas; en particular, es probable que usted no necesita realmente el conjunto de ZFC para casi cualquier cosa que hagas.
La mayoría de todos: ZFC no viene primero. Las matemáticas es lo primero; ZFC es un matemático de la teoría de que, entre otras cosas, "absorbe" la gran mayoría de las matemáticas de una manera determinada. Pero usted puede hacer matemáticas sin ZFC. (Es que se corre el riesgo de que accidentalmente la invocación de un "obvio" conjunto teórico principio de que no es tan obvio, y así en conflicto con otros resultados que invocan la "obvia" la negación de su "evidente" axioma. ZFC proporciona un lenguaje general para nosotros para hacer matemáticas, así que no tiene que preocuparse por cosas como esta. Pero en la práctica, esto casi nunca ocurre.)
Tenga en cuenta que también se puede pedir a esta pregunta con respecto a la lógica formal - en concreto, un clásico de la lógica de primer orden - en general; y mucho se ha escrito acerca de esto (voy a añadir algunas citas cuando tengo más tiempo). Pero que va muy lejos.
Realmente tl;dr (y, debo añadir, en conflicto con un número de personas - esto es mi opinión): las fundaciones no permiten, sino más bien servir, matemáticas.
"Mi casa es supuestamente construida en concreto de las fundaciones, pero he estado en la fijación de los tubos en el piso de arriba, y no he visto ningún fundamento".
Esto es análogo - que no los ves porque son tan profundamente debajo de la superficie de donde usted está trabajando. Si usted levanta el suelo y se asomó alrededor, usted encontrará las bases.
A pesar de que en realidad podría ser de madera de la pila o columnas-en-rodamientos de bolas, de la misma manera que en realidad podría ser el uso de un sistema, además de ZFC. Aunque hasta ir y comprobar, que probablemente usted no sepa la diferencia.
Como vamos bajando hasta el nivel de la fundación es el camino más allá del alcance para la mayoría de las reparaciones del hogar, por lo que es bajar a los axiomas más allá del alcance para la mayoría de las matemáticas.
Dado un conjunto $X$, escribimos $\mathcal{P}(X)$ para el conjunto de todos los subconjuntos de a $X$. Esto se llama el powerset de $X$. He aquí un ejemplo de cómo powersets se utilizan. Deje $X$ denotar un espacio vectorial. Tal vez usted quiere definir el concepto de "lineal subespacio de $X$" de una manera formal. Un punto de vista es que este concepto es" la función $$f : \mathcal{P}(X) \rightarrow \{\mathrm{true},\mathrm{false}\}$$ $$f(A) \iff (...),$$ where $(...)$ is the definition of the phrase "$Un$ is a subspace of $X$." Así, para dar la "es un subespacio de" la función de un adecuado dominio, usted necesita powersets.
Pero, ¿cómo sabemos powersets siquiera existen? Bien, porque es un axioma.
Pero usted puede decir:
Espera, me puede definir el conjunto de todos los subconjuntos (el "powerset"), a la derecha? Deje $X$ denotar un conjunto. A continuación, $A$ es un elemento de la powerset de $X$ fib $A$ es un subconjunto de a $X$. En símbolos: $$\mathcal{P}(X) = \{A \mid A \subseteq X\}$$ Y si puedo definir un concepto, entonces el conjunto de todas las instancias de ese concepto debe existir. Así, el conjunto de todos los subconjuntos de a $X$ debe existir. Ergo, $\mathcal{P}(X)$ existe. Así que no necesito un axioma para esto!
Suena convincente, ¿verdad? De hecho, durante bastante tiempo, los matemáticos creían que la idea básica de que "si se puede definir un concepto, entonces el conjunto de todas las instancias que el concepto debe existir." Fue Russell quien primero se dio cuenta de que este principio, que se formaliza mediante la (contradictorias) [axioma esquema de libre comprensión][3], es insostenible. La prueba es algo como esto. Supongamos que para cualquier fórmula $\phi(x)$ puedo escribir, no es un conjunto de todos los $x$ satisfacción $\phi(x)$. Entonces, hay un conjunto de todos los $x$ satisfacción $x \notin x$, se $R$. Por lo tanto $y \in R$ fib $y \notin y$, para todos los $y$. Por lo $R \in R$ fib $R \notin R$, una contradicción. Básicamente, esto sucede porque no podemos constantemente decidir si o no $R$ debe ser un elemento de sí mismo. Véase también, de la Paradoja de Russell.
Por lo tanto, tenemos algunos nuevos set-existencia de principios, que (¡ojalá!) no conducir a una total contradicción como la que. ZFC es un ejemplo de colección de la existencia de los principios, y funciona bastante bien. Al menos, funciona lo suficientemente bien como para ser la norma.
(Por cierto, he copiado una gran parte de esta respuesta a partir de esta edad la respuesta de la mina. Me pregunto si el que hace el plagio?... jaja.)
En adelante.
Usted escribe:
Se dice que nuestra actual base de las matemáticas son los ZFC-axiomas.
Estoy de acuerdo en que, básicamente, la base actual de las matemáticas es la teoría de conjuntos. Sin embargo no estoy de acuerdo con la declaración anterior, debido a que hay más de una manera de hacer que la teoría de conjuntos. Aquí es necesariamente incompleta lista:
También, yo rechazo la afirmación de que intuitionistic tipo de teoría no es una teoría de conjuntos. Se trata de colecciones, y de funciones entre las colecciones. En mis libros, que la convierte en una teoría de conjuntos. Y, por supuesto, hay gente ahí fuera como yo, que están descontentos con los enfoques existentes y en secreto en el trabajo en nuestro propio secreto de Una Teoría de conjuntos para gobernarlos A Todos. Tienes derecho a soñar, ya lo sabes :) Y, por supuesto, usted no está obligado a usar cualquier particular de la fundación. Inventar su propia cuenta, si te gusta (esto es más difícil de lo que parece!). Pero de todos modos, ninguna figura de autoridad puede decir que la fundación de usar.
Por el camino, los términos en la lista de arriba no son solo conjunto de teorías, son también distintos estilos de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, puede añadir varios tipos de axiomas de postular la existencia de grandes cardenales de ZFC, por ejemplo, y usted todavía está haciendo ZFC-estilo de la teoría de conjuntos. La teoría ha cambiado, pero el estilo es el mismo. El verdadero desafío, a partir de una práctica de la formalización de la matemática punto de vista, no es crear una nueva teoría de conjuntos, para crear una nueva, más amigable con el usuario de estilo de la teoría de conjuntos.
Es probable que el uso ZFC todo el tiempo!
Por analogía, en el nivel universitario, análisis real, la primera orden del negocio es definir con claridad el conjunto de los números reales. En muchos de los modernos textos, el conjunto de los reales es definido como el único, completo, ordenado de campo. Esto simplemente significa que los números reales que satisface una determinada lista de propiedades - como $$a+b=b+a$$ for all real numbers $un$ and $b$. Por supuesto, los niños de primaria saben que la suma es conmutativa y lo usan con frecuencia. Sólo muy pocos de ellos nunca estudio de los números reales a partir de la axiomática de la perspectiva, sin embargo. De hecho, un montón de bellas matemáticas aplicadas se puede hacer sin el estudio de los fundamentos teóricos de la materia.
En una vena similar, los matemáticos utilizan los axiomas de ZFC (bueno, al menos ZF) todo el tiempo. Cuando usted escribe un intervalo en los llamados conjunto generador de notacióncomo $$\{x\in\mathbb R: -1\leq x \leq 1\},$$ usted acaba de invocar el tercer axioma de ZFC, o el axioma de especificación, como usted puede buscar en la Wikipedia. De nuevo, esto tiene el sentido perfecto que usted debe ser capaz de definir un conjunto de esta manera y usted puede hacer un montón de bellas matemáticas sin siquiera cuestionar este hecho. Es sólo al estudio de los fundamentos teóricos de la teoría de conjuntos que este y otros supuestos similares deben ser explícitas.
Considerar la pregunta: ¿qué es un conjunto?
ZFC da una respuesta a esta pregunta.
Si usted siente que su intuición es lo suficientemente bueno como para resolver los problemas que se enfrentan, sin pedir a esta pregunta, entonces usted no necesita una buena comprensión de ZFC.
Esta pregunta es fundamental, puesto que los otros conceptos matemáticos como los números, las funciones, las relaciones, los grupos se definen mediante conjuntos.
En mi universidad es común para las matemáticas a los estudiantes de 1ro a 3er año tienen una comprensión muy limitada de ZFC.
Si usted está interesado en la lógica matemática y teoría de conjuntos, entonces ZFC es muy importante.
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