Transformada de Laplace
Tenemos, como se señala en la pregunta, la siguiente ecuación: $$x''(t)+ 9x(t) = \cos(t) + \delta(t-\pi)$$ Con $x(0)=0$ y $x'(0)=0$ . Así que aplicando la Transformada de Laplace: $$ \require{cancel} \begin{alignat}{1} \mathscr{L}\left[x''(t)+9x(t)\right]&=\mathscr{L}\left[ \cos(t) + \delta(t-\pi)\right] \\ s^2F(s)-s\cancelto{0}{f(0)}-\cancelto{0}{f'(0)}+9F(s)&=\frac{s}{s^2+1^2}+e^{-\pi s}\cdot1 \\s^2F(s)+9F(s)&=\frac{s}{s^2+1}+e^{-\pi s} \\(s^2+9)\cdot F(s)&=\frac{s+(s^2+1) e^{-\pi s}}{s^2+1} \end{alignat}$$
Así, tras la transformación, obtenemos: $$ \bbox[5px,border:1.1px solid black] { F(s)=\frac{s+(s^2+1) e^{-\pi s}}{(s^2+1)(s^2+9)}=\frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}+\frac{e^{-\pi s}}{s^2+9} } $$
Su transformación es errónea en dos puntos: $$F(S) = \frac{S}{(S^2+9)[(S^2+1) \bbox[yellow,4px,border:1.5px solid red]{+9}\,]} + \frac{e^{-\pi\cdot \, \bbox[yellow,4px,border:1.5px solid red]t}}{S^2+9}$$
Transformada inversa de Laplace
Ahora, tenemos dos partes en el lado derecho para aplicar la Transformada Inversa de Laplace: $$ F(s)=\underbrace{\frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}}_{\mathbf{(I)}}+\underbrace{\frac{e^{-\pi s}}{s^2+9}}_{\mathbf{(II)}} $$
Para $\mathbf{(I)}$ , primero tenemos que descomponerlo mediante fracciones parciales:
$\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{1.}$ Encontrar los ceros de $s^2+1$ y $s^2+9$ $$\begin{alignat}{1} s^2+1=0 &\iff s=\pm\sqrt{-1}=\pm \,i \\s^2+9=0 &\iff s=\pm\sqrt{-3}=\pm \,3i \end{alignat} $$ Ahora que sabemos que $s^2+1=(s+i)\cdot(s-i)$ y $s^2+9=(s+3i)\cdot(s-3i)$ podemos proceder a la descomposición.
$\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{2.}$ Encontrar las constantes de la descomposición de fracciones parciales $$ \frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}\equiv\frac{A}{s+i}+\frac{B}{s-i}+\frac{C}{s+3i}+\frac{D}{s-3i}\equiv \\\equiv\frac{A\cdot (s-i)(s^2+9)+B\cdot(s+i)(s^2+9)+C\cdot (s^2+1)(s-3i)+D\cdot (s^2+1)(s+3i)}{(s^2+1)(s^2+9)} $$ Ahora, trabajando sólo con los numeradores: $$s\equiv A\cdot (s-i)(s^2+9)+B\cdot(s+i)(s^2+9)+C\cdot (s^2+1)(s-3i)+D\cdot (s^2+1)(s+3i)$$ Dado que se trata de una identidad (es decir, válida para cada $s$ ), podemos elegir arbitrariamente valores y ponerlos en la identidad para encontrar $A$ , $B$ , $C$ y $D$ :
$$ \begin{cases} \begin{alignat}{1} s=-i &\implies A=\frac{1}{16} \\ s=i &\implies B=\frac{1}{16} \\ s=-3i &\implies C=-\frac{1}{16} \\ s=3i &\implies D=-\frac{1}{16} \end{alignat} \end{cases} $$ Así, obtenemos: $$ \frac{s}{(s^2+1)(s^2+9)}\equiv\frac{1/16}{s+i}+\frac{1/16}{s-i}-\frac{1/16}{s+3i}-\frac{1/16}{s-3i} $$
Ahora podemos aplicar la transformada inversa de Laplace: $$ \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1/16}{s+i}+\frac{1/16}{s-i}-\frac{1/16}{s+3i}-\frac{1/16}{s-3i}\right]= \\=\frac{1}{16}\,\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+i}\right]+\frac{1}{16}\,\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-i}\right]-\frac{1}{16}\,\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s+3i}\right]-\frac{1}{16}\,\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1}{s-3i}\right] $$ Recordando que la transformada de Laplace de la función exponencial es: $$ e^{-at} \iff \frac{1}{s+a} $$ Por fin lo tenemos: $$ \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1/16}{s+i}+\frac{1/16}{s-i}-\frac{1/16}{s+3i}-\frac{1/16}{s-3i}\right]= \frac{1}{16}e^{-i\cdot t}+\frac{1}{16}e^{i\cdot t}-\frac{1}{16}e^{-3i\cdot t}-\frac{1}{16}e^{3i\cdot t} $$ Utilizando la identidad de Euler ( $e^{i\cdot\theta}\equiv \cos\theta+i\sin\theta)$ podemos escribir el resultado anterior en términos de senos y cosenos: $$ \begin{cases} \begin{alignat}{1} e^{-i\cdot t}&=\cos(t)-i\sin(t) \\e^{i\cdot t}&=\cos(t)+i\sin(t) \\e^{-3i\cdot t}&=\cos(3t)-i\sin(3t) \\e^{3i\cdot t}&=\cos(3t)+i\sin(3t) \end{alignat} \end{cases} \implies \frac{1}{16}\left(e^{-i\cdot t}+e^{i\cdot t}-e^{-3i\cdot t}-e^{3i\cdot t}\right)=\frac{1}{8}\left[cos(t)-cos(3t)\right] $$
Para $\mathbf{(II)}$ , tenemos que utilizar lo siguiente:
$\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{1.}$ Propiedad de desplazamiento de tiempo de Laplace $$ f(t-a) \cdot \operatorname{H}(t-a) \iff e^{-a s}\cdot F(s) $$ (donde $\operatorname{H}(t)$ es la función escalonada de Heaviside)
$\,\,\,\,\,\,\,\mathbf{2.}$ Transformada de Laplace de la función seno $$ \sin(\omega t) \iff \frac{\omega}{s^2+\omega^2} $$
Combinando estas dos cosas, podemos encontrar la Transformada Inversa de Laplace de $\mathbf{(II)}$ :
$$ \mathscr{L}^{-1}\left[\frac{e^{-\pi s}}{s^2+9}\right]=\mathscr{L}^{-1}\left[\frac{1} {\color{red}3}\cdot\frac{\color{red}3\cdot e^{-\pi s}}{s^2+3^2}\right]=\frac 1 3 \cdot \mathscr{L}^{-1}\left[e^{-\pi s}\cdot\frac{3}{s^2+3^2}\right]=\frac 1 3\sin(3t-\pi)\cdot\operatorname{H}(t-\pi) $$
Finalmente, la respuesta:
Recordando que $\sin(3t-\pi)=-\sin(3t)$ tenemos: $$ \bbox[5px,border:1.1px solid black] { x(t)=\frac{1}{8}\left[cos(t)-cos(3t)\right]-\frac 1 3\sin(3t)\cdot\operatorname{H}(t-\pi) } $$
