La ecuación del rayo viene dada por:
$Mu^{(4)}(x)+Nu''(x) = f(x) \; x \in [0,L]$
Se supone que esto representa la flexión de una viga de longitud $L$ cuando una densidad de masa seccional $f(x) \ge 0$ actúa sobre la viga.
Tengo que demostrar que un candidato a ser un mínimo de la funcional:
$\mathcal{F}[u] = \int_{0}^L \Big(M \frac{u''(x)^2}{2} - N \frac{u'(x)}{2}-f(x)u(x)\Big) dx$
definido en un conjunto adecuado, tiene que verificar la ecuación del rayo.
Estoy buscando pistas sobre dónde definir este funcional y si puedo utilizar algún resultado intermedio. Si no, tendré que reproducir la prueba a partir de otros problemas variacionales. Lo que me sorprende aquí es que no hay condiciones de contorno.
Mi enfoque
Tenemos el funcional $\mathcal{F}[u] = \int_{0}^L \Big( M \frac{u''(x)^2}{2} - N \frac{u'(x)^2}{2} - f(x)u(x)\Big) dx$ y podemos denotar $F(x,u(x),u'(x),u''(x)) = M \frac{u''(x)^2}{2} - N \frac{u'(x)^2}{2} - f(x)u(x)$ .
Ahora hacemos variaciones $g(s) = \mathcal{F}[\overline{u}+s\phi]$ donde $\overline{u}$ es el mínimo (posible) del funcional. Por tanto, tenemos que $g'(0) = 0$ . Haciendo los cálculos se obtiene: $$0 = \int_{x_0}^{x_1} \frac{dF}{dy} (x,\overline{u}(x),\overline{u}'(x),\overline{u}''(x)) \phi(x) + \frac{dF}{dz} F(x,\overline{u}(x),\overline{u}'(x),\overline{u}''(x)) \phi'(x) + \frac{dF}{dp} F(x,\overline{u}(x),\overline{u}'(x),\overline{u}''(x)) \phi''(x)$$
