Comprender las relaciones "infinitas" en los grupos

Question

Consideremos las matrices $A = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}5&0&0\\\ 2&2&1\\\ 2&1&2\end{pmatrix}$ , $B = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&2&1\\\ 0&5&0\\\ 1&2&2\end{pmatrix}$ y $C = \frac{1}{5}\begin{pmatrix}2&1&2\\\ 1&2&2\\\ 0&0&5\end{pmatrix}$ .

El grupo $G\subset GL_3(\mathbb{C})$ que generan es libre de rango 3. Sin embargo, también se tiene:

$A^\infty := \lim_{k\rightarrow\infty}A^k = \begin{pmatrix}1&0&0\\\ 1&0&0\\\ 1&0&0\\\ \end{pmatrix}$ , y de forma similar $B^\infty = \begin{pmatrix}0&1&0\\\ 0&1&0\\\ 0&1&0\\\ \end{pmatrix}$ y $C^\infty = \begin{pmatrix}0&0&1\\\ 0&0&1\\\ 0&0&1\\\ \end{pmatrix}$ .

Esto conduce a tres relaciones "infinitas" entre $A$ , $B$ y $C:$

$A^\infty B = B^\infty A$

$B^\infty C = C^\infty B$

$C^\infty A = A^\infty C$

Por supuesto, estas no son verdaderas relaciones de grupo, ya que implican productos infinitos y, además, estos productos infinitos son singulares, por lo que no se encuentran en el grupo generado por $A$ , $B$ y $C$ sino que son relaciones entre elementos de la "frontera" de este grupo (en un sentido apropiado de la palabra frontera).

Pregunta 1: Me pregunto si alguien ha estudiado este tipo de relaciones infinitas/limítrofes en los grupos, y en particular si tienen alguna utilidad para entender alguna propiedad del grupo original.

Pregunta 2: Supongamos que $H$ es otro grupo libre de rango 3 en $GL_3(\mathbb{C})$ . $H$ es, por supuesto, isomorfo a $G$ pero puede no tener ninguna relación de frontera. ¿Hay alguna manera de utilizar las relaciones infinitas para definir una noción "más fuerte" de isomorfismo que diga que $G$ y $H$ no son isomorfas ya que no tienen las mismas relaciones infinitas? Editar: Pensando un poco más, esta última cuestión es más bien una pregunta sobre la representación particular de $G$ elegida, por lo que quizás no sea tan interesante? ¿O tal vez algo aparte de lo habitual sobre el isomorfismo de las representaciones podría ser relevante?

Motivación: Hace tiempo estuve estudiando las funciones armónicas en el empaque de Sierpinski; estas tres matrices surgen naturalmente en la evaluación de tales funciones. En este contexto, las infinitas relaciones anteriores son equivalentes a la afirmación de que dichas funciones están bien definidas en cada punto del empaque. Las relaciones anteriores resultaron útiles en ocasiones para demostrar diversos hechos, pero en su momento nunca me molesté en considerarlas en el contexto de las relaciones de grupo.

En general, pueden surgir al estudiar subgrupos de $GL_n(R)$ para $R$ un anillo unital conmutativo. En este caso la "frontera" del subgrupo puede ser un subconjunto de los elementos singulares de $Mat_n(R)$ y se pueden plantear preguntas sobre las relaciones entre los elementos de esta "frontera".

Answer 1

Esta respuesta es en parte una ampliación de los comentarios hasta ahora. Lo que se busca es un tipo de decoración en los grupos que (1) permita evaluar infinitos productos, y (2) también cree puntos extra que sean el valor de algunos o todos esos productos. Hay una respuesta bastante inevitable a (1): Debes considerar grupos topológicos o al menos espacios topológicos, ya que tomar límites en una topología es la principal forma de extender productos finitos a productos infinitos. Pero para (2), una topología no es suficiente. Se obtiene más información de una métrica que de una topología, porque un espacio métrico tiene una terminación. Por otro lado, una métrica tampoco es del todo satisfactoria, entre otras razones porque tiene datos extra, no canónicos. Una buena alternativa a una métrica es un uniformidad . Un espacio uniforme también tiene una terminación (en la que convergen todas las redes de Cauchy) y todo espacio métrico es canónicamente un espacio uniforme.

De hecho, todo grupo topológico bien comportado tiene una uniformidad canónica asociada, porque se pueden utilizar las vecindades de la identidad para hacer vecindades uniformes. (No tengo muy claro cómo debe comportarse exactamente el grupo topológico. Debería bastar con que sea Hausdorff y que las uniformidades de la izquierda y la derecha coincidan). Por lo tanto, todo grupo topológico de este tipo tiene una terminación que también es un grupo topológico, y que entonces tiene infinitos productos que son elementos del grupo. Como sugiere Mark Sapir, una de estas uniformidades es la uniformidad profinita en un grupo residualmente finito.

En el otro extremo, creo que un grupo hiperbólico de palabras $G$ tiene una uniformidad definida por Gromov cuyos puntos de terminación se llaman el límite de Gromov. Sin embargo, la multiplicación no es uniforme continua en esta construcción, sino que sólo se tiene que la uniformidad es invariante a la izquierda. Así, la terminación no es un grupo topológico, pero sí tiene una acción izquierda de $G$ . Sólo se pueden definir productos infinitos por la derecha, y sólo se pueden multiplicar por elementos del grupo de la izquierda. Aun así, puedes hacer todo eso, lo que te permite considerar muchas relaciones infinitas interesantes.

Su ejemplo de grupos de matrices está modelado por una uniformidad de calidad intermedia. La uniformidad de la estructura del grupo aditivo de Lie en $M_3(\mathbb{C})$ no es lo mismo que la uniformidad de la estructura del grupo de Lie multiplicativo en $GL_3(\mathbb{C})$ aunque las topologías sean las mismas. La multiplicación se extiende a la terminación, pero la inversión no. (Modelo de juguete: La función $1/x$ en $\mathbb{R}^\times$ no es uniformemente continua en la métrica estándar en $\mathbb{R}$ y obviamente no se extiende a $0$ .) La finalización de $GL_3(\mathbb{C})$ es obviamente $M_3(\mathbb{C})$ y cualquier subgrupo tiene una uniformidad heredada y una terminación que es entonces un semigrupo. Así que una respuesta a tu segunda pregunta es que un grupo discreto puede tener muchas uniformidades completadas por semigrupos diferentes, algunas de las cuales provienen de representaciones matriciales.