Ax-Grothendieck y el Jardín del Edén

Question

Es una consecuencia obvia del principio de encasillamiento que cualquier función inyectiva sobre conjuntos finitos es biyectiva. Pero hay algunos resultados similares en diferentes áreas de las matemáticas que se aplican a entornos menos finitos.

En la geometría algebraica, el Teorema de Ax-Grothendieck afirma (si no me equivoco) que cualquier inyección de una variedad algebraica sobre un campo algebraicamente cerrado a sí misma es biyectiva; la prueba estándar implica algún tipo de principio local-global junto con el mismo hecho sobre campos finitos.

En la teoría de los autómatas celulares, el Teorema del Jardín del Edén afirma que cualquier autómata celular inyectivo (sobre una malla entera de alguna dimensión finita fija, digamos) es biyectivo; la prueba estándar implica de nuevo el mismo hecho para conjuntos finitos de celdas junto con un argumento limitante que muestra que para regiones acotadas suficientemente grandes de una malla no acotada, el límite de la región tiene un efecto despreciable comparado con el interior.

¿Existe alguna forma de ver estos tres enunciados inyectivos-bijetivos (u otros) como instancias de un único fenómeno más general?

Answer 1

Véase el reciente documento "Sobre los autómatas celulares algebraicos" para una demostración de cómo derivar el teorema del Jardín del Edén a partir del teorema de Ax-Grothendieck. Esto está en el espíritu del artículo de Gromov que Mohan mencionó en los comentarios. Este artículo es el que introdujo los grupos de Sofic. La historia, tal y como yo la entiendo, es la siguiente El teorema de Ax-Grothendieck nos dice que todo mapa algebraico regular de una variedad algebraica compleja a sí misma no puede ser una incrustación estricta. Si se toma una potencia de la variedad indexada por un grupo G, entonces el resultado análogo es válido para los mapas pro-regulares equivariantes de G cuando el grupo G satisface algunas condiciones (puede ser aproximado por grupos "agradables"). Gromov llama a esta propiedad "surjuntiva". El teorema original de GOE se refiere a $G=\mathbb{Z}^n$ . Resulta que esto funciona para cualquier grupo amenable, y más generalmente para grupos soficos, aquellos grupos que pueden ser aproximados por grupos amenables.

Answer 2

Otro ejemplo son los monorfismos (es decir, inyectivos) entre espacios vectoriales de dimensión finita. Creo que una clave general es el concepto general de dependencia algebraica (ver teoría de los matroides), sistema libre y bases, esto es una "generalización" del concepto habitual de espacios vectoriales (álgebra lineal), por ejemplo se puede generalizar esta "teoría de la dependencia" para analizar el grado de trascendencia para la extensión del campo.

Si esta "teoría general de la dependencia" es aplicable, entonces un morfismo inyectivo mapea una base (en el dominio) a un sistema libre (en el codominio) y un sistema libre de la cierta cardinalidad de una base (todas las bases tienen la cierta cardinalidad, y podemos llamarla la dimensión) es una base, entonces una base genera el espacio y el mapa es suryecto también.

Answer 3

En la teoría de las álgebras de von Neumann se da un fenómeno similar.

Dejemos que $M$ ser un tipo $II_1$ -factor. Es decir, es un álgebra de von Neumann de dimensión infinita con centro $\mathbb C$ y con una traza (definida en todas partes) $tr:M\to \mathbb C$ .

Entonces existe un invariante completo de $M$ -módulos llamados la dimensión de von Neumann. Este invariante toma valores en $\mathbb R_{\ge 0}\cup \{\infty\}$ y puede tomar cualquier valor de ese conjunto. Tiene la propiedad de que cualquier mapa isométrico $H_1 \to H_2$ entre módulos de la misma dimensión es en realidad un isomorfismo unitario (excepto si la dimensión de von Neumann es $\infty$ En ese caso, no es cierto).

En particular, si $H$ es un $M$ -de dimensión de von Neumann finita, entonces cualquier isometría (no se supone que sea suryente) es en realidad un isomorfismo unitario.