Demuestre que el VIF del jº predictor es la jª entrada diagonal de la inversa de la matriz de correlación

Question

Intento demostrar que el factor de inflación de la varianza para la jª variable predictora en un modelo de regresión centrado/escalado es la jª entrada diagonal de la inversa de la matriz de correlación de los predictores. La primera idea que tuve fue intentar $VIF_j=\frac{Var({\hat{\beta_j}})}{\sigma^2}$ , donde $\hat{\beta_j}$ es el estimador del coeficiente de regresión del jº predictor. Pero no sé cómo llegar desde aquí a la entrada diagonal que quiero. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Recordemos que en OLS $$ \text{Var}(\hat{\beta}|X)=\sigma^2(X'X)^{-1}, $$ por lo tanto, $$ \frac{\text{Var}(\hat{\beta_j})}{\sigma^2} = \frac{\sigma^2(X'X)^{-1}_{jj}}{\sigma^2} = (X'X)^{-1}_{jj} $$