Degeneración de la secuencia espectral de Hodge

Question

Dejemos que $f\colon X \to S$ sea un morfismo propio suave de esquemas. Si $S$ es de característica cero (es decir, $S$ es un $\mathbb Q$ -), entonces Deligne ha demostrado:

1. $R^af_*\Omega^b_{X/S}$ es localmente libre para todos $a,b \geq 0$ .

2. La secuencia espectral de Hodge-De Rham $E^{ab}_1 = R^af_*\Omega^b(X/S) \Rightarrow H_{\rm DR}^{a+b}(X/S)$ degenera en $E_1$ .

Se sabe que esto falla en la característica positiva. Mumford dio ejemplos de superficies proyectivas lisas sobre campos algebraicamente cerrados. Sin embargo, hay varios casos interesantes de esquemas $X \to S$ en la característica $p > 0$ donde sé que esto es cierto:

a. $X$ es un esquema abeliano, una curva relativa, una intersección completa global en un espacio proyectivo o una superficie K3 sobre $S$ .

b. $X$ es una variedad tórica proyectiva suave sobre un campo.

c. Existe también un criterio de Deligne e Illusie que muestra en particular que 1. y 2. se cumplen si $\dim(X/S) < p$ y $X$ puede elevarse a $W_2(S)$ .

Pregunta : ¿Cuáles son otros ejemplos en la característica positiva, en los que se cumplen 1. y 2.?

También existe una variante del resultado de Deligne para los esquemas logarítmicos. En particular, también me interesaría conocer ejemplos en los que se cumpla el análogo logarítmico de 1. y 2.

ADICIÓN: Me arriesgo a nombrar dos ejemplos de esquemas proyectivos lisos sobre un campo, en los que no me sorprendería demasiado que (1. y) 2. se cumplieran, pero de los que no conozco ningún resultado:

d. $X$ es Calabi-Yau (es decir, su haz canónico es trivial).

Edición: Como Torsten Ekedahl señaló más abajo, esta definición de "Calabi-Yau" no es la "correcta" (ni siquiera en char. $> 2$ como escribí en una edición anterior) y no implica en general que la secuencia espectral Hodge-De Rham degenere.

e. $X$ es $G$ -esférico para un grupo reductor $G$ (es decir, $X$ lleva un $G$ -tal que existe una acción densa $B$ -órbita, donde $B$ es un subgrupo de Borel de $G$ ).

Editar: De nuevo uno podría haber excluido algunos primos pequeños dependiendo del tipo de Dynkin de $G$ .

Answer 1

[He entendido mal el comentario anterior de Torsten Ekedahl. Estoy revirtiendo el lema a su forma original que era un poco más fuerte].

Como la pregunta parecía resonar en mí, he estado pensando en esto de forma intermitente (pero sobre todo intermitente) desde hace un par de días. Esto es lo que se me ha ocurrido.

Lo que parece hacer que el ejemplo de las intersecciones completas funcione es el hecho de que los números de Hodge pueden calcularse mediante fórmulas independientes de la característica (se puede encontrar una función generadora estándar en SGA7, exp XI). Este es el principio subyacente.

Lema. Supongamos que $D$ es el espectro de un DVR de característica mixta con punto cerrado $0$ y punto genérico $\eta$ . Sea $\mathcal{X}\to D$ sea una familia proyectiva lisa tal que $$\dim H^q(\mathcal{X}_0,\Omega_{\mathcal X_0}^p)= \dim H^q(\mathcal{X}_\eta,\Omega_{\mathcal X_\eta}^p)$$ para todos $p,q$ . Entonces Hodge a De Rham degenera en la fibra cerrada.

Prueba. Degenera en $\mathcal{X_\eta}$ por la teoría de Hodge. Este plus de semicontinuidad implica $$\dim E_1(\mathcal{X}_0)\ge \dim E_\infty(\mathcal{X}_0)\ge \dim E_\infty(\mathcal{X}_\eta) =\dim E_1(\mathcal{X}_\eta)=\dim E_1(\mathcal{X}_0)$$

Se puede utilizar para comprobar la degeneración en los siguientes casos:

Ej. 1. Intersecciones completas en espacios proyectivos como ya se ha señalado.

Ej. 2. Productos de curvas proyectivas suaves e intersecciones completas. Utilice Kuenneth y el hecho de que las curvas se elevan a la característica $0$ (la obstrucción se encuentra en $H^2$ de la gavilla tangente; o véase Oort, Compositio 1971).

Ej. 3. Ciertas coberturas cíclicas ramificadas del espacio proyectivo, y más generalmente ciertas hipersuperficies en el espacio proyectivo ponderado. Soy demasiado perezoso para decir lo que significa exactamente "cierto". Pero una lectura cuidadosa de las notas de Dolgachev sobre los espacios proyectivos ponderados debería darnos algo más preciso.