El espacio de medidas vectoriales dotado de la norma de variación total es completo

Question

Dejemos que $\Omega$ sea un conjunto $\mathcal A\subseteq2^\Omega$ con $\emptyset\in\mathcal A$ , $E$ ser un $\mathbb R$ -Espacio de Banach y $\mu:\mathcal A\to E$ ser aditivo. Ahora, para $A\subseteq\Omega$ , dejemos que $$|\mu|(A):=\sup\left\{\sum_{i=1}^k\left\|\mu(A_i)\right\|_E\right\},$$ donde el supremum se toma sobre todos los $k\in\mathbb N$ y mutuamente disjuntos $A_1,\ldots,A_k\in\mathcal A$ con $\bigcup_{i=1}^kA_i\subseteq A$ .

Es fácil ver que $$\mu\mapsto|\mu|(\Omega)\tag1$$ es una norma sobre el espacio vectorial de los $\mu$ para lo cual $|\mu|(\Omega)<\infty$ . ¿Podemos demostrar que esta norma es completa?

Suponiendo que $(\mu_n)_{n\in\mathbb N}$ es una secuencia de Cauchy wrt $(1)$ de tal $\mu$ . Para $\varepsilon>0$ Hay un $N\in\mathbb N$ con $$|\mu_m-\mu_n|(\Omega)<\varepsilon\;\;\;\text{for all }m,n\ge N\tag2.$$ Deberíamos tener claramente $$\left||\mu_m|(A)-|\mu_n|(A)\right|\le|\mu_m-\mu_n|(A)\le|\mu_m-\mu_n|(\Omega)\tag3.$$ Así que, $$(|\mu_n|(A))_{n\in\mathbb N}$$ es Cauchy.

Si $E=\mathbb R$ esto podría ayudar (una medida con signo puede descomponerse en una parte negativa y otra positiva), pero no veo qué hay que hacer en general.

BTW : Sería genial si alguien conoce una referencia de libro de texto donde se demuestre que el espacio de $E$ -Las medidas vectoriales valoradas equipadas con la norma de variación total son completas.

Answer 1

Esto no es muy diferente de las pruebas de que cualquiera de los espacios de funciones básicas es completo. En efecto, supongamos que $(\mu_n)_{n \geq 1}$ es Cauchy para $| \cdot |(\Omega)$ . Sea $A_i \in \mathcal{A}$ . Entonces $$\| \mu_n(A_i) - \mu_m(A_i) \| \leq | \mu_n - \mu_m |(\Omega)$$ así que $\mu_n(A_i)$ es una secuencia de Cauchy en el espacio de Banach $E$ y por tanto converge a algún elemento de $E$ que llamaremos $\mu(A_i)$ . Así que ahora tenemos una función $\mu: \mathcal{A} \to E$ que es el límite puntual de la secuencia $\mu_n$ . Por lo tanto, es inmediato que $\mu$ es finitamente aditivo.

Queda por ver que $|\mu|(\Omega) < \infty$ y que $|\mu_n - \mu|(\Omega) \to 0$ . Vamos a demostrarlas en ese orden. Para la primera, tomemos un conjunto arbitrario $A_1, \dots A_k \in \mathcal{A}$ . Desde $\mu_n \to \mu$ en punto, para $n$ lo suficientemente grande $\sum_i \| \mu_n(A_i) - \mu(A_i) \| \leq 1$ . Entonces, podemos estimar, $$\sum_{i=1}^k \|\mu(A_i)\| \leq 1 + \sum_i \|\mu_n(A_i)\| \leq 1 + \sup_n |\mu_n|(\Omega) < \infty$$ ya que las secuencias de Cauchy están acotadas. Así que tomando la $\sup$ en el lado izquierdo nos da que $| \mu |(\Omega) \leq 1 + \sup_n |\mu_n|(\Omega) < \infty$ .

Por último, ver que $\mu_n \to \mu$ para su norma, tenga en cuenta que para $\varepsilon > 0$ hay un $N$ (independientemente de nuestra elección de $A_i$ ) tal que para $n,m \geq N$ , $$\sum_i \|\mu_n(A_i) - \mu_m(A_i)\| \leq |\mu_n - \mu_m|(\Omega) \leq \varepsilon$$ Envío de $m \to \infty$ en el lado izquierdo y tomando el $\sup$ da para $n \geq N$ $$|\mu_n - \mu|(\Omega) \leq \varepsilon$$ que muestra la convergencia deseada.