¿Por qué el plano complejo tiene esa forma?

Question

Siempre se ha dado por sentado que la recta numérica real es perpendicular a los múltiplos de $i$ Pero, ¿por qué? ¿Por qué no es $i$ ¿en algún ángulo que no sea de 90 grados con respecto a la recta numérica real? ¿Podría alguien explicar la lógica o el razonamiento que hay detrás de esto? Me parece evidente, pero no puedo ver por qué lo es.

Además, ¿por qué la recta numérica real es incluso recta? ¿Por qué no se dobla o se curva? Supongo que arbitrariamente podría ser extraño doblarla, pero ¿por qué no podría doblarse en 0? ¿Hay alguna prueba que demuestre por qué?

Por supuesto, estas cosas me parecen naturales y tienen sentido, pero ¿por qué el plano complejo tiene su forma? ¿Existe una prueba detallada que demuestre precisamente por qué, o es sólo una elección arbitraria que alguna persona hizo hace muchos años y que decidimos aceptar porque tiene sentido para nosotros?

Answer 1

Hay un aspecto realmente importante de los números complejos que depende de que el plano complejo tenga exactamente esta forma: la multiplicación compleja.

Los números complejos no sólo pueden caracterizarse en coordenadas cartesianas por una parte real y otra imaginaria, sino también en coordenadas polares por una longitud y un ángulo.

Usted sabe que para cualquier $z \in \mathbb{C}$ existe $x, y \in \mathbb{R}$ tal que $z = x+i\cdot y$ ¿verdad? $x$ es la parte real y $y$ ¿es la parte imaginaria? Bueno, también existe $r, \varphi \in \mathbb{R}$ , $r \geq 0$ tal que $z = r\cdot(\cos\varphi + i\sin\varphi)$ . Aquí, $r$ se llama longitud o valor absoluto de $z$ y $\varphi$ se llama ángulo o argumento medido en sentido contrario a las agujas del reloj desde el eje real positivo.

Podemos utilizar las coordenadas cartesianas para sumar números complejos: $$(x_1+i\cdot y_1) + (x_2+i\cdot y_2) = (x_1+x_2) + i\cdot(y_1+y_2)$$

Podemos utilizar las coordenadas cartesianas para multiplicar números complejos:

$$(x_1+i\cdot y_1)\cdot (x_2+i\cdot y_2) = (x_1x_2-y_1y_2) + i\cdot(x_1y_2+y_1x_2)$$

Sin embargo, también podemos utilizar las coordenadas polares para multiplicar números complejos:

$$(r_1(\cos\varphi_1 + i\sin\varphi_1))\cdot(r_2(\cos\varphi_2 + i\sin\varphi_2)) = (r_1\cdot r_2)(\cos(\varphi_1+\varphi_2) + i\sin(\varphi_1+\varphi_2))$$

Así que para multiplicar dos números complejos en coordenadas polares, se multiplicar sus longitudes y añadir sus ángulos. Personalmente creo que esto es increíblemente útil para la visualización, y esto también muestra por qué el eje imaginario necesita estar en ángulo recto con el eje real: ya que el ángulo de $-1$ es $180^\circ$ el ángulo de $i$ necesita ser $90^\circ$ o $270^\circ$ .

Answer 2

El plano complejo es un modelo (o más formalmente, un isomorfismo) con propiedades muy agradables, como $\arg(zw)=\arg(z)+\arg(w)$ o, en un análisis complejo más avanzado, los números sinuosos.

¿Podría haber una representación "mejor"? Tal vez. Y, en cualquier caso, debería tener claro qué significa "mejor" para usted, es decir, qué quiere hacer con esta representación.

Lo que es seguro es que, desde que Gauss empezó a utilizar el plano complejo, se han encontrado aplicaciones profundas, útiles y hermosas.

Answer 3

Nosotros elija representaciones pictóricas para que las propiedades algebraicas (como la asociatividad y la conmutatividad de la suma y la multiplicación) tengan interpretaciones geométricas coherentes.

Por ejemplo, la recta numérica tradicional asocia a cada número real  $a$ a desplazamiento de  $0$ de tal manera que para todos los reales $a$ y  $b$ ,

• La suma corresponde a la concatenación de desplazamientos, la resta $b - a$ es el desplazamiento que toma  $a$ a  $b$ y $|b - a|$ es la distancia desde  $a$ a  $b$ ;

• Multiplicación por un real positivo  $c$ corresponde a escala por  $c$ (fijación  $0$ ) y la multiplicación por  $-1$ es la reflexión (que preserva la distancia) a través de $0$ ;

• El desplazamiento hacia la derecha corresponde a la relación de orden.

Sin embargo, existen otras formas geométricas de representar el campo de los números reales. Para nombrar una, identifique el número real  $a$ con la línea de pendiente $\tanh a$ por el origen en el plano cartesiano, y que los reales actúen por transformaciones de impulso . Así es como se suman las velocidades en la relatividad especial.

---

El plano euclidiano [*] puede ser coordinado fijando un origen  $O$ dos líneas orientadas mutuamente perpendiculares $X$  y $Y$ a través de  $O$ y una unidad de longitud. (Convencionalmente, tomamos $X$  horizontal y orientado a la derecha; $Y$  vertical y orientado hacia arriba). Si $P$  es un punto arbitrario, existe una única línea  $\ell_{Y}$ a través de  $P$ y en paralelo a  $Y$ por el postulado del paralelo; el único punto de intersección de  $\ell_{Y}$ con  $X$ define el $x$ -coordinación de  $P$ . El $y$  coordenadas de  $P$ se define de forma similar.

El punto  $P$ se identifica así con un dirección algebraica el par ordenado  $(x, y)$ de los números reales. De este modo se obtiene una correspondencia biyectiva entre el plano cartesiano (el plano euclidiano con la estructura extra del origen, dos líneas orientadas y una unidad de longitud fija) y el conjunto  $\mathbf{R}^{2}$ de pares ordenados de números reales.

Dado que cada eje es efectivamente una recta numérica, las operaciones algebraicas de adición de vectores adquieren un significado geométrico, a través de la ley del paralelogramo para la adición de vectores y la operación de escala radial centrada en el origen para la multiplicación escalar.

Ahora, ¿qué pasa con los números complejos? Identificando $\mathbf{C} \simeq \mathbf{R}^{2}$ es bastante natural: $x + iy \leftrightarrow (x, y)$ . Porque $i^{2} = -1$ deseamos representar  $i$ como una operación geométrica que, realizada dos veces seguidas, tiene el efecto de multiplicar por  $-1$ es decir, de girar el plano media vuelta alrededor del origen. Con un cuarto de vuelta sobre el origen se consigue esto. Con un convenio adicional se toma (normalmente) la rotación en sentido contrario a las agujas del reloj, de modo que el positivo $x$ -El eje gira hacia el positivo $y$ -eje. (Podríamos haber tomado igualmente la rotación en el sentido de las agujas del reloj; la operación algebraica de conjugación compleja es un automorfismo de campo).

Hay que reconocer que se trata de un relato comprimido; sin embargo, las ideas esenciales pueden ser más fáciles de ver si no se rellenan todos los detalles. El resultado final es que la correspondencia entre el álgebra y la geometría es convencional, aunque (como señalan otras respuestas) matemáticamente rica más allá de lo razonable. a priori la expectativa.

---

[*] En el post original, escribí: "Descartes se dio cuenta de que el plano euclidiano...." Como señaló Daniel R. Collins en los comentarios, esta afirmación es menos cierta de lo que el "conocimiento común" tiene. No soy un historiador de las matemáticas, y no puedo exponer la procedencia completa de los ejes cartesianos, pero los ejes tal y como se describen en esta respuesta no fueron introducidos explícitamente por Descartes. (Los comentarios contienen algunos detalles más).

Answer 4

Riemann

lo convirtió en un esfera :

Answer 5

Esta es una versión larga de algunas de las respuestas ya publicadas. Espero que ayude a alguien. Asegúrese de echar un vistazo a los comentarios de abajo para un enfoque ligeramente más sofisticado.

---

Olvida todo lo que sabes sobre el sistema de números complejos $\mathbb{C}$ por un momento. Vamos a darle la vuelta a la pregunta: supongamos que tenemos un sistema numérico bidimensional $\mathbb{K} = \{a+b\kappa:a,b\in\mathbb{R}\},$ y supongamos que nuestro nuevo número $\kappa\not\in\mathbb{R}$ es "perpendicular al eje real", en un sentido que pronto definiremos con precisión. Supongamos también que la multiplicación de estos números se comporta bien, de forma precisa. En esta respuesta, mostraremos que $\kappa^{2}=-1$ entonces debe ser el caso. La cuestión es que los números complejos $\mathbb{C}$ no se introducen porque sí (o por alguna razón aburrida como las ecuaciones cuadráticas): es útil porque es el sólo sistema numérico que se comporta bastante bien para nuestros propósitos habituales. El respuesta a la pregunta es entonces "el plano complejo tiene forma de porque queremos que los números complejos sean elegantes ".

En primer lugar, por "un sistema numérico", sólo me refiero a un conjunto de objetos que podemos sumar, restar, multiplicar y dividir (¡excepto por cero!), igual que con los números reales.

A continuación, ¿qué quiero decir con "perpendicular al eje real"? Queremos ser capaces de dibujar $\mathbb{K}$ como un plano, con el eje real horizontal y el $\kappa$ eje vertical. Imagina que has dibujado el plano (o mejor aún, dibuja realmente el plano) y elige un punto $a+b\kappa\in\mathbb{K}$ . Este punto se encuentra en algún lugar del plano. Inspirándonos en nuestro conocimiento del plano cartesiano $\mathbb{R}^{2},$ definimos las nociones de longitud y ángulo (o módulo y argumento ) correspondiente a $a+b\kappa$ de la siguiente manera:

• Dado que el punto $a+b\kappa$ corresponde naturalmente al punto $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$ y la longitud que normalmente asociamos con $(a,b)$ es la distancia euclidiana al origen, definimos el módulo de $a+b\kappa$ por $$\lvert a+b\kappa \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}.$$
• Dado que el punto $a+b\kappa$ corresponde naturalmente al punto $(a,b)\in\mathbb{R}^{2}$ y el ángulo que típicamente asociamos con $(a,b)$ es el ángulo con el eje real medido en sentido contrario a las agujas del reloj, definimos el argumento de $a+b\kappa$ por $$\arg{(a+b\kappa)} =\begin{cases}\tan^{-1}{(b/a)} & \text{if }a\neq0\text{ and }b>0,\\-\tan^{-1}{(b/a)} & \text{if }a\neq0\text{ and }b<0,\\\pi/2 & \text{if }a=0\text{ and }b>0,\\-\pi/2 & \text{if }a=0\text{ and }b<0\\0&\text{if }a>0\text{ and }b=0\\\pi&\text{if }a<0\text{ and }b=0.\end{cases}$$ Tenga en cuenta que si $a=b=0$ , entonces dejamos el argumento sin definir.

Llegados a este punto, probablemente deberías dibujar un croquis y asegurarte de que éste concuerda con lo que sabemos sobre la geometría de coordenadas. Esta definición garantiza de antemano que $\arg{\kappa}=\pi/2$ que es lo que se pretende. También, $\lvert\kappa\rvert=1$ por definición.

Por último, ¿qué quiero decir con "la multiplicación de estos números se comporta bien"? Me refiero a esto: la multiplicación de dos números en $\mathbb{K}$ debe dar como resultado un número cuya longitud es el producto de sus longitudes y cuyo argumento es la suma de sus argumentos.

Entiendo que esta última afirmación pueda parecer un poco aleatoria, así que intentaré convencerte de que se trata de una razonable que imponer. Tenga en cuenta que la multiplicación de cualquier número $a+b\kappa\in\mathbb{K}$ por un número real positivo $r>0$ a priori no afecta al argumento: $$\arg{(r(a+b\kappa))}=\tan^{-1}{\frac{rb}{ra}} = \tan^{-1}{(b/a)} = \arg{(a+b\kappa)}.$$ Esto significa que al multiplicar $a+b\kappa$ por un número real positivo $r$ da un número cuyo argumento es $\arg{(a+b\kappa)}+0$ y observamos aquí que $0=\arg{r}$ . Del mismo modo, la multiplicación por números reales negativos da lugar a la suma de $\pi$ al argumento, lo cual es útil porque los números reales negativos tienen argumento $\pi$ . Cuando se trata de multiplicar dos números arbitrarios distintos de cero en $\mathbb{K}$ juntos, nos gustaría que hubiera una norma que se ajustara al modelo actual. Ya he insinuado la más obvia: $$\text{if }z,w\in\mathbb{K}\setminus\{0\},\text{ then }\arg{(zw)}=\arg{z}+\arg{w}.$$ Por un razonamiento muy similar, tiene sentido imponer la norma $\lvert zw\rvert =\lvert z\rvert \lvert w\rvert$ .

Nota al margen: Espero que esté de acuerdo en que estos son buenas propiedades para que nuestro sistema numérico tenga. El punto de esta discusión es que sería estéticamente agradable (y, como resulta, útil) tener un sistema numérico que siga estas reglas.

Ahora bien, si $\mathbb{K}$ se comporta realmente como queremos y sigue todas las reglas que hemos expuesto anteriormente, entonces no tenemos otra opción: ya que $\lvert\kappa\rvert=1$ se deduce que $\lvert\kappa^{2}\rvert=1$ y $\arg{\kappa^{2}}=\pi/2+\pi/2=\pi$ y el único número con longitud $1$ y el argumento $\pi$ es $-1$ . Por lo tanto, $\kappa^{2}=-1$ y $\mathbb{K}=\mathbb{C}$ .