Una pregunta para la órbita inversa en la construcción de la medida conforme

Question

Recientemente, he leído un teorema de existencia de medida conforme para el mapa racional.

No he entendido dos partes de la prueba. El autor afirma que existe un conjunto abierto $V\subset \hat{C}\setminus J(R)$ , de manera que cada rama inversa $R_{j}^{-n}$ de $R^{n}$ es una función de un solo valor. Y también las órbitas inversas $$R_{j_1}^{-1}(V), R_{j_2}^{-1}R_{j_1}^{-1}(V),\dots R_{j_k}^{-1}R_{j_(k-1)}^{-1}(V)\dots R_{j_1}^{-1}(V)$$ son disjuntos y las órbitas convergerán uniformemente a $J(R)$ , si $V$ es un subconjunto en el disco de Siegel y el anillo de Herman. hay como mucho una órbita inversa excepcional.

Estuve confundido con este argumento durante mucho tiempo, sí supe dar una prueba completa. cualquier referencia y comentario será apreciado.

EDIT (Gracias al consejo del profesor Eremenko.): este argumento es del teorema 3 (página 740) del artículo de Sullivan. http://download.springer.com/static/pdf/268/chp%253A10.1007%252FBFb0061443.pdf?auth66=1398441124_3dd347091ebaae9a952145910da7220b&ext=.pdf

Answer 1

Normalmente este argumento se justifica así.

Primero. Los valores críticos de $f^n$ son las órbitas delanteras de los puntos críticos. Esto se deduce de la regla de la cadena. En el conjunto de normalidad, las órbitas delanteras de los puntos críticos tienden a los ciclos o se encuentran en algunas curvas cerradas (en dominios singulares). Por lo tanto, siempre hay un conjunto abierto simplemente conectado $V$ en el conjunto de la normalidad que es disjunta de estas órbitas delanteras.

Segundo. Esto implica que todas las ramas inversas de todos los iterados están bien definidas y holomorfas en $V$ .

Tercero. Estas ramas, todas juntas forman una familia normal porque evitan un gran conjunto (conjunto Julia). Los límites de las secuencias de estas ramas deben ser constantes si no hay no hay dominios singulares, porque las órbitas inversas tienden a $J$ y $J$ no tiene interior. Existe una órbita excepcional si $V$ está en el dominio singular.

Este argumento ya fue utilizado por Fatou.

EDITAR. Para responder a sus preguntas: que las preimágenes de $V$ bajo diferentes ramas del mismo $f^{-n}$ son disjuntos está claro. Para todas las preimágenes bajo $f^{-m}$ y $f^{-n}$ para ser disjuntos $V$ no debe estar en un componente invariable. Siempre se pueden encontrar tales $V$ , a menos que todos los componentes sean completamente invariables. En este último caso los componentes son no singulares, la dinámica dentro de tal componente es clara, y de nuevo se puede elegir tal $V$ .

En la época de Fatou, la existencia de componentes singulares era dudosa, pero por supuesto Fatou sabía que existía tal posibilidad, y siempre los tuvo en cuenta en sus pruebas. El término "dominio singular" pertenece a Fatou. Que pueden estar realmente presentes, lo demostró Siegel en 1944. En otras palabras, Fatou sabía la clasificación de los posibles componentes periódicos, pero no sabía si todas las posibilidades de esta clasificación pueden estar realmente presentes. Tampoco sabía si los dominios errantes pueden existir o no, pero esto no afecta al argumento que discutimos.