Así que estoy tratando de calcular las raíces de $\phi_1$ verificar esta ecuación para determinar el ángulo de una pala para una turbina de tornillo de Arquímedes basada en 'LA VUELTA DE TUERCA': DISEÑO ÓPTIMO DE UN TORNILLO DE ARQUÍMEDES' (Rorres, 2000) :
$$\sin\biggl(\phi_1-\frac{2\pi}{N}\biggr)+\lambda(\phi_1-\phi_0)-\rho \sin(\phi_0)=0$$
$\lambda,\rho,\phi_0$ y N son conocidos con valores de:
- $\lambda$ = 3/16
- $\rho$ = 1/2,
- $\phi_0=\cos^{-1}(-\frac{\lambda}{\rho})$
- N = 8
Con estos datos, el valor de $\phi_1$ en el documento es de 441,96°, con ángulos límite $\phi_L$ y $\phi_R$ igual a 162,68° y 343° respectivamente.
He escrito el siguiente script de MatLab para determinar las raíces numéricamente utilizando el método Newton-Raphson:
%% Newton-Raphson Method
clear all
close all
clc
% Vetruvius' Screw
N = 8;
a = 3/16;
b = 1/2;
% Phi 0: Bucket Begins
phi_0 = acos(-(a/b));
% Phi 1: Bucket Ends
f1 = @(x1) sin(x1-(2*pi/N)) + a*x1 - a*phi_0 - b*sin(phi_0);
df1 = @(x1) cos(x1-(2*pi/N)) + a;
% Phi L: Minimum Angular Boundary L
fl = @(xl) sin(xl) + a*xl - a*phi_0 - b*sin(phi_0);
dfl = @(xl) cos(xl) + a;
% Phi R: Minimum Angular Boundary L
fr = @(xr) sin(xr) + a*xr - a*phi_0 - b*sin(phi_0);
dfr = @(xr) cos(xr) + a;
% Plot functions to estimate initial roots
figure(1)
fplot(f1,[-4*pi 4*pi])
title('Initial Functions')
xlabel('x')
ylabel('y')
xticks([-4*pi -3*pi -2*pi -pi 0 pi 2*pi 3*pi 4*pi])
grid on
grid minor
hold on
fplot(fl)
hold on
legend(' Phi 1 ',' Phi L/R ')
% initial guesses
x1(1) = 7.714;
xl(1) = 2.8;
xr(1) = 6;
for i = 1:1000
x1(i+1) = x1(i) - (f1(x1(i))/df1(x1(i)));
xl(i+1) = xl(i) - (fl(xl(i))/dfl(xl(i)));
xr(i+1) = xr(i) - (fr(xr(i))/dfr(xr(i)));
end
phi_1 = x1(1000) * (180/pi);
phi_l = xl(1000) * (180/pi);
phi_r = xr(1000) * (180/pi);
figure(2)
plot(x1)
title('Newton-Raphson Method to determine the Blade Angles of an
Archimedes Screw Turbine')
xlabel('Number of Iterations')
ylabel('Blade Angle (rads)')
hold on
plot(xl)
plot(xr)Espero un valor de unos 7,71 rads (441,96°) para $\phi_1$ pero mi respuesta es mucho más baja, utilizando el mismo método que los otros dos ángulos ( $\phi_L$ y $\phi_R$ ) son más o menos los valores que espero, 162,2º y 343,1º.
¿Alguien puede ver la razón por la que estoy obteniendo valores correctos para $\phi_L$ y $\phi_R$ pero con valores incorrectos para $\phi_1$ utilizando el mismo método?
(Se adjuntan los gráficos de las funciones y las raíces resultantes de mi script).
EDITAR También se adjuntan los resultados del documento para comparar.
