Grupos algebraicos semisimples adyacentes sobre campos no cerrados algebraicamente

Question

Dejemos que $k$ sea un campo de característica cero y sea $G$ sea un grupo algebraico semisimple adjunto sobre $k$ .

En la página 34 del artículo "Sansuc - Groupe de Brauer et arithmétique des groupes algébriques lineaires sur um corps de nombres", se afirma que existe una colección de extensiones de campos finitos $k \subset k_i$ tal que $$G \cong \prod_i \mathrm{R}_{k_i/k}(G_i) \quad (*)$$ donde el $G_i$ son grupos adyacentes absolutamente simples sobre $k_i$ y $\mathrm{R}_{k_i/k}$ denota la restricción de Weil.

Me sorprendió bastante cuando vi esto, ya que ciertamente parece haber algo especial en los grupos adjuntos. Sin embargo, por desgracia, Sansuc no da ninguna explicación ni referencia de por qué esto es así.

¿Por qué existe el isomorfismo declarado (*)?

Me conformaría con una prueba o una referencia.

Answer 1

La prueba es bastante fácil. Sea $G$ sea un semisimple simplemente conectado (o adjunto) sobre un campo $k$ . Sobre el cierre separable $k^{s}$ de $k$ , $G$ es un producto $G=G_{1}\times\cdots\times G_{n}$ de grupos casi simples $G_{i}$ . El grupo de Galois $\Gamma$ de $k^{s}/k$ actos en el plató $\{G_{1},\ldots,G_{n}\}$ y el producto de los grupos en una órbita es estable bajo $\Gamma$ y por lo tanto se define sobre $k$ . De esta manera, $G$ es un producto de grupos cuasi-simples sobre $k$ . Así, podemos suponer que $G$ es casi simple. Ahora $\Gamma$ actúa transitoriamente en el plató $\{G_{1},\ldots,G_{n}\}$ . Sea $\Delta$ sea el estabilizador de $G_{1}$ y que $K$ sea el subcampo de $k^{s}$ arreglado por $\Delta$ . Entonces $Res_{K/k}(G_{1})$ y $G$ son isomorfos sobre $k^s$ por un isomorfismo invariante bajo la acción de $\Gamma$ y por eso son isomorfas sobre $k$ .