¿multiplicar dos subgrupos normales sigue siendo normal?

Question

Dejemos que $G_i \triangleleft G_{i+1}$ ambos subgrupos de $G$ . Sea $N$ sea un grupo normal.

Hace $G_iN \triangleleft G_{i+1}N$ ?

Hace $(G_iN/N) \triangleleft (G_{i+1}N/N)$ ?

Sé que $q:G\longrightarrow G/N$ preserva la normalidad. Por lo tanto, si $G_iN \triangleleft G_{i+1}N$ entonces sus cocientes serían normales.

Lo he intentado considerando un elemento en $g\in G_iN$ y $h\in G_{i+1}N$ y tratando de averiguar si $ghg^{-1}\in G_iN$ . Pero estoy un poco confundido de esos grupos de multipicación. Y es por eso que no puedo jugar con esta expresión.

Answer 1

Quiero cambiar la notación para hacer las cosas más claras: Supongamos que $H\lhd K< G$ y que $N\lhd G$ (así que realmente $H=G_i$ y $K=G_{i+1}$ ). Entonces, una prueba de que $HN\lhd KN$ considerando un conjugador es:

Supongamos que $k\in K$ , $h\in H$ y $n, n'\in N$ . En primer lugar, hay que tener en cuenta que $$n^{-1}k^{-1}(hn')kn=(n^{-1}k^{-1}hkn)\cdot (n^{-1}k^{-1}n'kn)$$ Claramente $(n^{-1}k^{-1}n'kn)\in N$ , mientras que $(n^{-1}k^{-1}hkn)\in HN$ por lo siguiente: $$\begin{align*} k^{-1}hk&\in H\\ \Rightarrow k^{-1}hk\cdot (k^{-1}hk)^{-1}n^{-1}(k^{-1}hk)&\in HN\\ n^{-1}(k^{-1}hk)&\in HN\\ n^{-1}(k^{-1}hk)n&\in HN \end{align*} $$ El resultado es el siguiente.

Answer 2

Una pista:

El primero debería ser casi inmediato, y para el segundo:

$$G_iN/N\cong G_i/(G_i\cap N)\;,\;\;\; G_{i+1}/(G_{i+1}\cap N)\cong G_{i+1}N/N$$