¿Por qué cambia de forma el símbolo de la operación de multiplicación?

Question

¿Por qué el signo "$\times$" utilizado en aritmética cambia a un "$\cdot$" a medida que avanzamos en la educación? El símbolo parece ser ambiguo solo por la variable $x$; sin embargo, no habríamos elegido la variable $x$ a menos que ya estuviéramos eliminando $\times$ como símbolo de multiplicación. Entonces, ¿por qué lo hacemos? Tengo mucha curiosidad. Parece que $\times$ ya es suficiente como un símbolo descriptivo.

Answer 1

Como @DavidRicherby implica en un comentario más abajo, una idealmente debe distinguir cuidadosamente la historia de la notación de punto, de las posibles razones para mantener, retener, o la modificación de su uso. Por desgracia, aunque estoy calificado por edad (66) para comentar sobre los últimos 50 años, soy de lo contrario, mal calificado para tratar con la historia (para que se vea cuándo y por quién, y también las respuestas por @hjhjhj57 y @RobertSoupe). Así que lo que sigue puede parecer a veces para mezclar la historia y las razones y en los momentos de la historia equivocada. Está pensado como un individuo a tomar en las razones. Tenga en cuenta también que haber vivido en los Estados Unidos por alrededor de 3 años (2 años de LA, y de 6 meses cada uno en nueva york y Colorado), estoy mucho más familiarizado con el reino unido de la escena de los Estados Unidos de la escena, y no sabe casi nada acerca de otros países.

Hay múltiples razones. Quizás el más importante es el deseo de hacer que la notación de la forma más concisa posible. El cambio no es realmente de$a\times b$$a\cdot b$. Es de$a\times b$$ab$. En muchos de pregrado álgebra libros, y en el de la investigación y de la revista nivel, la "multiplicación" de la operación es sólo denota por yuxtaposición. Pero entonces eso también es cierto en algunos tal vez la mayoría de las escuelas para los adolescentes. Mirando el 2014 Fundamentales de Matemáticas de los trabajos de uno de los líderes del reino unido examen de las tablas para el "a-levels" (el final de los exámenes para la mayoría de los alumnos), que parecen uso de la yuxtaposición exclusivamente. Por otro lado los papeles para GCSE matemáticas (normalmente tomado de 16 años de edad) parecen utilizar $246\times10$.

Esto también está vinculado a un deseo de la velocidad. Hay significativamente menos pulsaciones de teclas en $ab$ que en cualquiera de las $a\times b$ o $a\cdot b$ si está utilizando LaTeX. Tal vez más importante, siendo más conciso, la yuxtaposición es más fácil de leer. Pero como @DavidRicherby señala en una upvoted comentario más abajo, Látex ha llegado tarde a la fiesta, por lo que puede tener un papel de menor importancia en el mantenimiento del status quo, pero no podría haber ayudado a llevarlo a cabo.

Otra razón es evitar la ambigüedad. Por ejemplo, $3^25$ es ambigua debido a que el exponente separa la $3$$5$. Pero en Látex si intenta escribir $3\cdot5^2$ por la yuxtaposición usted tiene que insertar un espacio especial para obtener $3\ 5^2$ y el resultado aún no es del todo satisfactorio. Pero me puede prestar demasiada atención a esas cuestiones, porque de haber publicado dos libros en los últimos dos años, me pregunto cómo alguien se las arregla para combinar la escritura de libros de matemáticas con un trabajo a tiempo completo, el trabajo es horrendo!

Otra razón puede ser que los vectores 3D se introducen a menudo, y tener dos multiplicación de las operaciones: el producto escalar y el producto vectorial. Así que uno se ve obligado a utilizar dos símbolos diferentes para evitar la ambigüedad. Por supuesto, se podría evitar que mediante el tensor de la subíndice enfoque, y cómo todo lo que se ha manejado un elemento de la moda. Para el último par de décadas, por ejemplo, ha habido una campaña para avanzar hacia Clifford o "geométrica álgebras" (donde el producto cruzado es mal visto y la cuña del producto es la clave).

Tenga en cuenta también que $a\cdot b$ a menudo no representan la multiplicación ordinaria. De curso $3\cdot5$ casi siempre lo hace, pero a medida que uno se mueve a través de estudios de grado en trabajo de graduación $a\cdot b$ es cada vez más utilizado para representar operaciones distintas de las de la multiplicación ordinaria (de los enteros, reales, etc).

Como @Kundor señala correctamente, el OP pregunta real podría ser visto como ¿por qué enseñar $5\times 6$ en el primer lugar? Nunca he tratado de enseñar a cualquier persona menor de alrededor de 9. Pero estoy bastante seguro de que tratando de usar la yuxtaposición cuando aritmética se introdujo por primera vez iba a ser un non-starter. Así que la pregunta es ¿por qué no empezar con $5\cdot6$, en vez de moverse años más tarde?

Que a mí me parece una mezcla de la historia y la psicología. Quiero que se mantenga alejado de la historia, si es posible, pero la psicología no me sorprende. Sensibilizar a los cambios de las cosas familiares es muy difícil cuando un gran número de personas están involucradas, particularmente cuando está completamente claro cómo el cambio va a beneficiar. Recuerdo claramente que el reino unido del movimiento del viejo "libras, chelines y peniques" (con 12 antiguos peniques para el shilling de 20 chelines la libra). Se requiere de una campaña masiva por el gobierno. En ese caso, era obvio que un simple 100 nuevos peniques la libra sería mucho más fácil, pero pocas personas se quería cambiar, después de haber acostumbrado a la antigua moneda.

Otro ejemplo es el de la dificultad que hemos tenido en el reino unido en movimiento de fahrenheit a celsius de temperatura. Todas nuestras previsiones están ahora en grados celsius (o centígrados en lugar - el sistema idéntico, con un nombre diferente), pero me tomó años para conseguir que la mayoría de la gente la acepte. El sistema antiguo era extraño (bp de agua 212, fp 32), sin embargo, creo que todavía se usa en los Estados Unidos!

O tomar millas. La unidad del SI es el km. Pero parece que no hay perspectivas de que el reino unido cambiar todas sus señales de carretera hasta el km para el futuro previsible. Recuerde que este es un país donde se conduce por el lado equivocado de la carretera. Cuando yo era desplazamientos hacia atrás y hacia delante a LA y recoger los coches de alquiler en LAX y mi propio coche en LHR, la única manera de que yo pueda encontrar a recordar, es que tuve que conducir por lo que estaba tan cerca del centro de la carretera como sea posible. Gracias a dios nunca tuve el tipo equivocado de coche.

Para cambiar el statu quo es muy difícil. Tiempo para hacer un punto obvio: MSE se lee en muchos países, y las prácticas varían ampliamente, a menudo, incluso dentro de los países. @Chieron 's mucho upvoted comentario debajo de la pregunta señala que algunas escuelas no utilice nunca $3\times4$, pero hay que empezar con $3\cdot4$.

Del mismo modo, me han tendido a concentrarse encima de las diferencias relevantes para los adolescentes y los estudiantes de pregrado, pero @BenC 's respuesta tiene la excelente y fácil de pasar por alto punto sobre el potencial y real de la confusión entre el centro de punto y de la coma decimal.

De nuevo, @RobertSoupe (en su respuesta) hace que la excelente punto (que me las arreglé para pasar por alto completamente) acerca de la posible confusión entre los tiempos de $\times$ y la variable $x$ cuando los niños se mueven en el aprendizaje de las tablas a un poco más avanzados de matemáticas. Véase también el comentario de @user21820 a continuación.

También me gustaría llamar la atención a algunos de los comentarios de @snulty. Bajo la pregunta que él y @MauroALLEGRANZA tenga en cuenta que Descartes utilizó $x$ desconocidos y la yuxtaposición de multiplicar (que muestra lo difícil discusión histórica puede ser a menos que usted está bien informado)! Yo también recomiendo snulty la respuesta. Estoy enfermo-calificado para comentar la verdad, pero sin duda suena muy plausible.

Wikimedia René Descartes después de Frans Hals

Una última observación. Uno de los simultáneamente delicioso y frustrante el mundo académico es que los dictados no funcionan. Para persuadir a la gente a cambiar su uso puede llevar generaciones. A veces (como con los grandes Clásicos de la Estadística de la debacle) uno tiene que esperar más de un siglo para conseguir cambios importantes y ampliamente aceptado. La notación es particularmente difícil. Nuevas áreas de las matemáticas van surgiendo y que las personas están constantemente secuestro de los símbolos antiguos y nuevos usos, de manera que en cualquier momento la notación aparece a menudo inconsistentes a través de todo el campo. Es difícil ver qué se puede hacer para cambiar eso. Por lo $a\times b$ todavía significa la multiplicación ordinaria, pero a veces los medios de vectores producto, aunque no es la negrita o la sub - o sobre-forro de dejar en claro que $a,b$ son vectores.

Así que el contexto es siempre el rey.

No pude resistir la tentación de añadir este (un facsímil de una página de Descartes (1596-1650) ):

Answer 2

También existe una ambigüedad entre una fracción decimal con un punto, como en $3.5^2$, y una multiplicación con un punto central, como en $3\cdot5^2$, especialmente si este último no tiene espacios alrededor del punto para dar contexto, como en $3\!\cdot\!5^2$.

De hecho, algunos libros de texto utilizan un punto central para fracciones decimales, por ejemplo, en el libro Física de Nivel Avanzado de Nelkon y Parker (sexta edición publicada en el Reino Unido en 1987, al menos, que utiliza $\times$ para la multiplicación).

Answer 3

Esto se hace principalmente para enfatizar las diferentes operaciones de multiplicación en términos de cálculo vectorial y multidimensional. En particular, se enfatiza que el producto punto $\cdot$ es mecánicamente diferente del producto cruz $\times$, aunque en operaciones en objetos de una dimensión, son virtualmente iguales.

Answer 4

La letra minúscula $x$ y la cruz de multiplicación $\times$ (\times in TeX, × in HTML) son símbolos muy diferentes. Uno puede ser utilizado para representar una variable, como ya has medio deducido, pero no se debería utilizar para denotar ningún tipo de multiplicación, mientras que el otro puede ser utilizado para denotar multiplicación pero no se debería utilizar para representar una variable. En algunos contextos verás que se utiliza $\otimes$ para mayor claridad.

El gran problema aquí es que estos dos símbolos que tienen etimologías y usos diferentes se parecen tanto, y en ningún otro lugar se sintió este problema tan agudamente como durante los primeros tiempos de los lenguajes de programación de computadoras en la época del ASCII.

$x \times y$ es lo suficientemente claro, al menos para nosotros con ojos lo suficientemente buenos, pero la cruz de multiplicación no está en el conjunto de caracteres ASCII, y así x x y sería terriblemente ambiguo. Y por lo tanto el asterisco fue cooptado para el operador de multiplicación, así que $x \times y$ se convierte en x * y, algo que todavía se ve en Javascript y Mathematica. En C++ hay algunos operadores que son en realidad palabras, pero en general, en la programación de computadoras, los operadores aritméticos no son símbolos alfanuméricos.

EDICIÓN: Después de publicar esta respuesta, al hacer algo de investigación, encontré una página de la Universidad Northeastern sobre los símbolos matemáticos. William Oughtred, un matemático del siglo XVI, ideó una cruz con serifas verticales como símbolo de multiplicación. Oughtred fue reprendido por su ahora más famoso contemporáneo Leibniz, quien escribió:

"No me gusta (la cruz) como símbolo de multiplicación, ya que es fácilmente confundible con x; .... a menudo simplemente relaciono dos cantidades con un punto intermedio e indico la multiplicación con ZC.LM."

Esto refuerza mi punto sobre cómo $x$ y $\times$ tienen orígenes diferentes pero son confusamente similares en apariencia.

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Y por cierto, nunca uses $\Sigma$ (Sigma en mayúscula) como una forma barata de escribir E cuando quieras darle un toque griego a algo. Esa letra griega fue elegida como el operador de suma porque es un sonido S.

Answer 5

Estoy buscando fuentes (ver edición), pero imaginaría que al enseñar a los niños a contar, sumar, multiplicar, se comienza con números enteros y la suma se simboliza como $1+1=2$. Luego intentas enseñarles que la multiplicación es una abreviatura de mucha suma $3+3+3+3=4\times 3$ y $4+4+4=3\times 4$, y hay una obvia similitud entre los símbolos $\times$ y $+$.

En una etapa posterior en la escuela $3\cdot4 $ puede parecerse a $3.4$ como en $3\frac{4}{10}$, por lo que imagino que sería bueno evitar esto, especialmente cuando también estás enseñando a los niños a practicar su escritura, para que no siempre pongan un punto exactamente donde les dices.

Luego, finalmente, cuando quieras pasar a cosas más avanzadas que el $\cdot$ y el $\times$ pueden representar, incluso solo álgebra con una variable $x$, tal vez quieras cambiar a un símbolo mejor.

Creo que las otras respuestas abordan muy bien este punto de vista, así que no mencionaré nada al respecto.

Editar: En el currículum irlandés alrededor del tercer y cuarto grado hacen multiplicación y decimales aproximadamente al mismo tiempo. Dice desarrollar una comprensión de la multiplicación de suma repetida y la división como sustracción repetida (obviamente en casos de números enteros).