Campos vectoriales analíticos en superficies que tienen un número infinito de singularidades

Question

Dejemos que $X$ sea un campo vectorial analítico sobre una superficie compacta oriantable $S$ con forma de volumen $\omega$ . Denotamos el conjunto de sus singularidades por $Z(X)$ .

Una cuestión local

¿Existe un campo vectorial analítico $Y$ en una zona de $Z(X)$ tal que $Z(Y)\subset Z(X)$ y $Z(Y)$ es un conjunto finito. Además $\omega(Y(p),X(p))=0$ para todos $p\in S$ . Es decir: $X \parallel Y$ fuera de las singularidades de $X$ ?

Una cuestión global

¿Podemos encontrar un campo vectorial analítico $Y$ como arriba, globalmente en el conjunto $S$ ?

Motivación: Creo que el segundo se utiliza implícitamente (y es necesario) en el libro "Finiteness theorem for Limit cycles" de YU.S. Ilyashenko.

En realidad, mi principal motivación es la siguiente pregunta:

Principal pregunta motivadora:

¿Es fácil pasar de declaración $A$ a $B$ como se indica a continuación?:

A: Todo campo vectorial analítico $X$ en $S^{2}$ tiene un número finito de ciclos límite siempre que el conjunto singular de $X$ es un conjunto finito.

B: Todo campo vectorial analítico arbitrario en $S^{2}$ tiene un número finito de ciclos límite.

Editar y actualizar: Hay una nueva versión de "Teorema de finitud del ciclo límite cuyo resumen indica una nueva versión de la prueba del teorema de finitud para campos vectoriales analíticos.

http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=im&paperid=8352&option_lang=eng

Answer 1

Descargo de responsabilidad: La discusión que sigue es sobre los campos vectoriales en $\mathbb RP(2)$ una superficie no orientable, y no responden a la preguntas de la OP.

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La respuesta a la pregunta local es no.

Considera en $\mathbb RP(2)$ el campo vectorial definido en un afín gráfico $(x,y)\in \mathbb R^2$ por $v=x \partial_x + y \partial y$ . El flujo inducido actúa sobre $\mathbb R^2$ por homotecia, y por tanto fija la línea en el infinito $ell$ . Por lo tanto, $v$ se extiende a un campo vectorial en $\mathbb RP(2)$ y contiene $\ell$ en su conjunto cero. Escribiendo explícitamente cómo es el campo vectorial en una vecindad del punto en la recta en el infinito, se ve que desaparece en primer orden en ella. Lo natural es encontrar una función que desaparezca en la recta en el infinito en primer orden y dividir $v$ por ella. Pero esto no se puede hacer. Un barrio de $\ell$ es isomorfo a la banda de Moëbius, con $\ell$ siendo el círculo central. Una función $f$ desapareciendo exactamente en $\ell$ y sólo hasta el primer orden (es decir $\ell$ no está contenido en el conjunto crítico de $f$ ) nos permitiría distinguir, a través de su signo, hacia arriba y hacia abajo el círculo central de la banda de Moëbius.

Una versión de la pregunta local es verdadera.

Los ceros de un campo vectorial analítico, si no están aislados, deben contener una curva analítica. Localmente esta curva está definida por la desaparición de una función analítica. Dividiendo por la ecuación de la curva se obtiene otro campo vectorial con ceros aislados.

De todos modos, no creo que estas cuestiones causen ningún tipo de problema.

En general una foliación analítica singular en una superficie compacta $S$ no está definido por un campo vectorial analítico global. Normalmente se cubre $S$ con subconjuntos abiertos donde la foliación está definida por campos vectoriales con ceros aislados, y pedir que en las intersecciones no vacías los campos vectoriales se diferencien por la multiplicación con una función analítica que no desaparece en ninguna parte.