¿Es $0! = 1$ porque hay sólo una manera de hacer nada?

Question

Ya le pidieron la prueba $0!=1$ en aquí. Mi pregunta, sin embargo, está un poco aparte de la pregunta original. Le pido si realmente $0!=1$ es cierto porque hay sólo una manera de no hacer nada o simplemente debido a la forma se define.

Answer 1

Sí, precisamente es una única función $\emptyset \to \emptyset$ (con vacío gráfico), que pasa a ser una biyección ($\operatorname{id}_\emptyset$). Tenga en cuenta que $n!$ es el número de bijections $\{1,\dots, n\}\to \{1,\dots,n\}$.

Answer 2

Para números positivos el $n!$ de la función factorial se define como el producto de todos los enteros positivos inferior o iguales a $n$. Definición de $0!$ necesitamos para "ampliar" la definición. Otra forma de definirlo es notar:

$$(n-1)! = \frac{n!}{n}$$

Pluging $n=1$ obtenemos: $0! = \frac{1!}{1} = 1$

Answer 3

Voy a ir un poco en contra de la corriente y decir que esto no es una muy buena manera de pensar acerca de esto. Tener una combinatoria intuición para las funciones que han de combinatoria definiciones es grande, pero que la intuición a menudo simplemente no funciona para vacuo de los casos donde se introduce 0 para uno de los valores, porque obtener la respuesta correcta realmente requiere pensar cuidadosamente acerca de la definición formal con conjuntos.

Supongamos que tiene tres números, 1, 2, 3, y mire todas las maneras diferentes que usted puede escribirlas

1, 2, 3

1, 3, 2

2, 1, 3

2, 3, 1

3, 1, 2

3, 2, 1

Ahora, si el recuento de aquellos, ver seis líneas. En general, si usted hace esto para $n$ números, verá $n!$ líneas. Pero, ¿qué acerca de los números de 0? Aquí tienes todas las maneras que usted puede escribir 0 números:

Parece raro. Yo no sé ustedes, pero yo veo 0 líneas. Pero basado en lo que todo el mundo está diciendo, debería haber una línea allí. ¿Qué está pasando? ¿Hay realmente una manera de contar nada?

El problema es que, para esta definición intuitiva de trabajar, no tiene que ser un "vacío" de la línea. No hay líneas en blanco en los otros casos, sin embargo, sólo cuando se tiene 0 números. Confundido? Echemos un vistazo a este sólo un poco diferente. Vamos a hacer lo mismo otra vez, pero esta vez, cuando escribimos los números, vamos a escribir entre paréntesis alrededor de ellos:

(1, 2, 3)

(1, 3, 2)

(2, 1, 3)

(2, 3, 1)

(3, 1, 2)

(3, 2, 1)

Ahora en lugar de contar las líneas, contamos el número entre paréntesis de los elementos de los números. Estos se denominan $n$-tuplas, o simplemente las tuplas. $n!$ es el número de $n$-tuplas, el número de tuplas de la longitud de la $n$. Formalmente, es el tamaño del conjunto de todas las $n$-tuplas.

Ahora, vamos a hacer 0. Cómo muchos de tuplas de longitud 0 hay? He aquí uno:

()

Basado en nuestra definición de una tupla (entre paréntesis lista ordenada de números), que cuenta. Debería ser bastante obvio que ese es el único. Por lo tanto, 0! es 1.

Al final del día, usted tiene que definir funciones como $n!$ en un conjunto teórico de la forma. A continuación, los valores de la esquina casos como el de $0!$ caída de esas definiciones, normalmente por algo que se llama vacío de la verdad ("vacío" es una palabra que he usado anteriormente, no por accidente).

Answer 4

Sí. 0! = 1 ya que se define de esa manera. Una de las razones que se define de esa manera es porque tiene sentido en el contexto de combinatoria dado que hay sólo un objeto vacío o permutación hasta isomorfismo.

Por lo que ambas son correctas - varía la definición de la función factorial. Cuando se define en referencia a una cantidad combinatoria sería posible probar 0! = 1. Cuando se define recursivamente por lo general se toma como definición.

Answer 5

"Todo el mundo sabe que si añades sin números, se obtiene cero. No todo el mundo sabe que si no se multiplican números, tiene $1$, pero sé que". - Tom Goodwillie, 02 de diciembre de 2008