¿Existe una prueba algorítmica de $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ ?

Question

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ se mantiene si $f$ satisface algunas condiciones.

Este hecho se demuestra por el método analítico.

Ejemplo:

$f(x, y) := x e^{x y}$ .

$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 2 x e^{x y} + x^2 y e^{x y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ .

Cuando diferenciamos $f$ parcialmente, calculamos las derivadas paritales de $f$ algorítmicamente.

También podemos calcular las derivadas parciales de $f$ por Matehmatica.

Así que me pregunto si existe una prueba algorítmica o algebraica de este hecho para funciones como la anterior.

Answer 1

Esto se conoce como Teorema de Schwarz :

https://en.m.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives

Basta con que las derivadas parciales existan y sean continuas.

Answer 2

Hay algunas pruebas que podrían considerarse "algorítmicas" o "algebraicas". Por ejemplo, se podría tomar la expansión de Taylor sobre un punto en el que $f$ es suave, y demostrar (algebraicamente) que las dos derivadas son iguales.

Si ampliamos esto a los puntos en los que $f$ es sólo dos veces diferenciable probablemente necesitaría un argumento analítico, aunque...