Interpretación del término de corrección de errores como tiempo de corrección

Question

Tengo la siguiente pregunta que no he logrado encontrar una respuesta satisfactoria. En un Modelo de Corrección de Errores (suponiendo que se cumplen todos sus supuestos):

$$\Delta y_{t} = a + b(y_{t-1}-\hat c-\hat kx_{t-1}) + c\Delta y_{t-1} + d\Delta x_{t-1}+ e_{t}$$

¿cuál es la interpretación correcta de $b$ como el tiempo necesario para corregir la desviación del desequilibrio? Por supuesto, tiene que ser $-1 < b < 0$ .

Hasta ahora lo que he encontrado es:

1) Que $ln(2)/b$ mide la vida media, es decir, el número de períodos necesarios para corregir la mitad de la desviación del equilibrio. ¿Podemos deducir algo sobre el tiempo que se necesita para corregir totalmente la desviación?

2) Que $1/b$ mide el número de periodos necesarios para corregir completamente la desviación sin tener en cuenta otras perturbaciones a corto plazo.

Se agradecen mucho las respuestas completas y, sobre todo, las referencias que hablen exactamente de esto. Gracias por adelantado.

Answer 1

Me temo que su exploración hasta ahora de la intuición detrás de $b$ es incorrecto. Por definición, el mecanismo de corrección es asintótico . Esto significa que siempre lleva un tiempo infinito para ajustar. Como tal, $b$ no puede asociarse a una medida de tiempo.

Para respaldar mis afirmaciones, y sin pérdida de generalidad, consideremos un modelo simplificado:

$$\Delta y_{t} = -b(y_{t-1} - \bar{y}) + e_{t}$$

Obsérvese que he definido $b$ como positivo . Esto es sólo para simplificar.

Supongamos que hubo un choque en $t=0$ para que $y_{0} \neq \bar{y}$ y a partir de ahí no hubo choque (se puede adaptar esto para poner el choque en el período $t$ y luego mirar hacia el futuro). Esto es, $e_{t} = 0 \quad \forall t >0$ .

Entonces, podemos reescribir el modelo como

$$y_{t} - y_{t-1} = -b(y_{t-1} - \bar{y})$$

Reacomodando:

$$y_{t} = (1-b)y_{t-1} + b\bar{y}$$

Es decir, el nivel actual es una media ponderada del nivel anterior y del nivel a largo plazo. Esto debería negar inmediatamente cualquier relación entre el tiempo y $b$ . Pero continuemos.

Ahora, itera a partir de la ecuación anterior utilizando la sustitución hacia atrás. Usted obtendrá:

$$y_{t} = (1-b)^t y_{0} + b\bar{y}\big(1 + (1-b) + (1-b)^2 + \cdots + (1-b)^{t-1}\big)$$

La suma dentro del paréntesis es un serie geométrica . Así, la ecuación puede escribirse como

$$y_{t} = (1-b)^t y_{0} + b\bar{y}\big(\frac{1-(1-b)^{t}}{1-(1-b)}\big)$$

Simplificación de la $b$ :

$$y_{t} = (1-b)^t y_{0} + \bar{y}\big(1-(1-b)^{t}\big)$$

Reacomodando:

$$y_{t} = \bar{y} + (1-b)^t(y_{0} - \bar{y})$$

A partir de aquí se puede ver esa convergencia hacia el nivel de largo plazo, o estado estacionario, sólo ocurre asintóticamente , para $0<b<1$ . Esto es:

$$\lim\limits_{t \rightarrow \infty} y_{t} = \bar{y}$$

Para concluir, $b$ no tiene ninguna interpretación temporal, ya que la convergencia siempre lleva un tiempo infinito. La interpretación correcta de $b$ es como el velocidad de ajuste . Aunque aparentemente son contrarios a la intuición, no están relacionados.