Encontrar el mínimo y el máximo al hablar de relaciones

Question

Estoy tratando de averiguar cómo encontrar el mínimo y el máximo cuando se habla de relaciones. Consideremos $A=(2,3,\ldots,13)$ . Considere también la siguiente relación $R$ : $$ (x,y)\in R \Leftrightarrow x|y $$ donde $x,y\in A$ . Necesito encontrar el mínimo y el máximo de la relación. ¿Qué significa esto? ¿Cómo los encuentro?

Answer 1

Normalmente, el mínimo y el máximo de la relación $\mid$ son $1$ y $0$ ya que $\forall a \in \mathbb{N}.\ 1\mid a$ y $a\mid 0.$

En su caso, no hay un elemento que divida todos los elementos de $A$ así como no hay ningún elemento que esté dividido por todos los elementos de $A$ por lo que no existe ni un mínimo ni un máximo.

Answer 2

$ \newcommand{\p}{\preccurlyeq} $ Un elemento "máximo" de un conjunto $A$ con orden parcial $\p$ es un $M \in A$ de tal manera que no hay $a \in A$ donde ambos $M \p a$ y $M \ne a$ . Asimismo, un elemento mínimo de $(A,\p)$ es un $m \in a$ de tal manera que no $a \in A$ satisface $a \p m$ y $a \ne m$ juntos.

En consecuencia, $a \in A$ est no maximal si existe $b \in A$ , $b\ne a$ , de tal manera que $a \p b$ . De la misma manera, $a$ est no mínimo si $b \p a$ pero $b \ne a$ .

Por tanto, recorre la lista invalidando primero los candidatos a máximos:

• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 2$ (excepto ella misma)
• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 3$ (excepto ella misma)
• $2 \mid 4$
• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 5$ (excepto ella misma)
• $3 \mid 6$
• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 7$ (excepto ella misma)
• $2 \mid 8$
• $3 \mid 9$
• $2 \mid 10$
• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 11$ (excepto ella misma)
• $2 \mid 12$
• $\not \exists x \in A$ tal que $x \mid 13$ (excepto ella misma)

Así, los máximos son los primos en $A$ -- lo que tiene sentido, por la relación de divisibilidad.

Del mismo modo, podemos volver a recorrer la lista y eliminar los candidatos a mínimos:

• $2 \mid 4$
• $3 \mid 6$
• $4 \mid 8$
• $5 \mid 10$
• $6 \mid 12$
• $7,8,\cdots,13$ sólo se dividen en $A$

Así, los máximos son $7, 8,9,10,11,12$ .

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Obsérvese que no existe un "máximo mayor"/"mínimo menor" singular para esta relación. Si lo hubiera, no tendríamos múltiples elementos máximos/minimos.

Answer 3

$2|4$ y ningún elemento $x\in A$ que no sea $2$ divide $2$ Por lo tanto $ 2$ es el mínimo de $ A$ según la relación $ R$ .

ningún elemento de $A$ divide $ 13$ pero $2|12 $ y $12$ no divide ningún otro elemento de $A$ . se deduce que $ 12$ es el máximo de $A$ .