Tengo problemas para entender la wikipedia sobre los espacios tatalmente acotados :
la acotación total es una generalización de la compacidad para las circunstancias en las que un conjunto no es necesariamente cerrado
¿Podría alguien proporcionar algunos detalles sobre esto?
Bueno, la frase me parece extraña, pero creo que significa:
Todo espacio métrico compacto está totalmente acotado.
Existen subespacios de espacios métricos totalmente acotados pero no cerrados (y, por tanto, ni siquiera compactos). Por ejemplo, $]0,1[$ está totalmente acotado como subespacio de $\mathbb{R}$ dotado de la distancia habitual.
Para cualquier $\epsilon>0$ el espacio métrico compacto $\langle X,d\rangle$ puede ser cubierto por un número finito de $\epsilon$ -bolas-, es decir, está totalmente acotado. Esta propiedad puede ser útil incluso cuando el espacio métrico no es compacto: por ejemplo, implica que toda secuencia en el espacio tiene una subsecuencia de Cauchy. Pero es estrictamente más débil que la compacidad, porque esa secuencia de Cauchy no tiene por qué converger. El subespacio $(0,1)$ de $\Bbb R$ con su métrica habitual es un ejemplo de espacio totalmente acotado que no es compacto; $\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}$ , de nuevo con la métrica habitual, es otra.
El hecho de que la acotación total sea una propiedad estrictamente más débil que la compacidad la convierte en una generalización de la compacidad (en espacios métricos): todo espacio métrico compacto es totalmente acotado, pero no todo espacio métrico totalmente acotado es compacto. El aspecto específico de la compacidad que generaliza a una clase más amplia de espacios se describe en la siguiente frase del artículo de Wikipedia:
Un conjunto totalmente acotado puede ser cubierto por un número finito de subconjuntos de cada "tamaño" fijo (donde el significado de "tamaño" depende de la estructura del espacio ambiente).
La conexión entre la acotación total y la compacidad es algo sutil, pero puede resumirse en el siguiente teorema:
Un subconjunto de un completa el espacio métrico es compacto si y sólo si es cerrado y totalmente acotado.
Otra forma de recordar esto, es decir que en un espacio métrico completo, los subconjuntos relativamente compactos y los subconjuntos totalmente acotados son presencialmente los mismos. Un conjunto relativamente compacto es un conjunto cuyo cierre es compacto.
Llamar a la acotación total una generlización de la compacidad podría ser algo exagerado, pero en un espacio métrico completo, un subconjunto totalmente acotado es lo más parecido a un subconjunto compacto sin necesidad de cierre.
La compacidad es una noción puramente topológica, definida en términos de cubiertas abiertas.
Totalmente acotado y completo son nociones métricas (o más bien nociones de espacio uniforme; éstas pueden definirse en cualquier espacio uniforme incluyendo todas las métricas. Una uniformidad indujo una topología (de forma similar a como lo hace la métrica) y resulta muy bien que estas dos nociones puramente no topológicas pero uniformes combinadas son exactamente la compacidad de la topología uniforme.
En ese sentido es más correcto decir que la acotación compelta es la compacidad menos la completitud (y en un espacio métrico completo, cerrado es equivalente a completo).
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