Espacios de imagen de $X^2$

Question

Dejemos que $(X,\tau)$ sea un espacio topológico y sea $$\Omega(X)=\{A\subseteq X: \text{there is surjective continuous }f:X\to A\}.$$ ¿Podemos expresar $\Omega(X\times X)$ en términos de $\Omega(X)$ ? (Suponemos que $X\times X$ para llevar la topología del producto).

Answer 1

En primer lugar, está claro que $$\{ A \times B: A, B\subset \Omega (X) \} \subset \Omega(X \times X) \}$$ Sin embargo, sólo pensar en $(0,1)$ es fácil ver que no se trata de una igualdad y que, de hecho, es mucho mayor. Por ejemplo $$\Omega( (0,1) ) = \{ I : I \textrm{ interval} \} $$ mientras que $$ \Omega( (0,1)^2 ) \supset \{ U: U \textrm{ homeomorphic to a square } \}$$ que incluye no sólo cuadrados, sino elipses y cualquier otra forma que se te ocurra.

Saludos