Cómo demostrar el isomorfismo con el grupo diedro

Question

Tengo un grupo que estoy tratando de demostrar que es isomorfo al grupo diédrico.

Sé que es finito, que está generado por dos elementos $\alpha$ y $\beta$ tal que: $\alpha^2=\beta^n=1$ y que $\alpha\beta\alpha=\beta^{-1}$ . EDIT: también, $\alpha\neq \alpha^2$ y $\beta\neq \beta^2\neq\ldots\neq\beta^n$ .

También sé que tiene al menos $2n$ elementos únicos.
EDIT: ¿Esta suposición es redundante?
EDIT: Es redundante para $n$ >2. Para $n=2$ , $\alpha\neq\beta$ es suficiente (es decir $D_2\cong C_2\times C_2$ ).

¿Es esto suficiente para implicar que este grupo es el grupo diedro con $2n$ ¿elementos?

Agradeceré cualquier ayuda :)

Answer 1

Añadiendo mi propia prueba con condiciones suficientes:

Dejemos que $n>2$ y que $\alpha$ y $\beta$ sean dos elementos de un grupo tales que

1. $o(\alpha)=2$ y $o(\beta)=n$ , donde $o(g)$ es la potencia mínima de $g$ tal que $g^{o(g)}=1$ .
2. $\alpha\beta=\beta^{-1}\alpha$ .

Entonces $G=\left<\alpha, \beta\right>\cong D_n$ el grupo diédrico de orden $2n$ .

Prueba.

Basta con demostrar que $G$ no tiene otras relaciones. Demostramos que $|G|=2n$ .
Desde $\alpha\beta=\beta^{-1}\alpha$ cada elemento de $G$ puede escribirse de la forma $\beta^i\alpha^j$ donde $i\in[0,n-1]$ y $j\in[0,1]$ .
Supongamos por el contrario que existe $1\leq k\leq n-1$ tal que $\beta^k\alpha=Id$ . Esto implica que $\alpha=\beta^{n-k}$ . Por lo tanto, $k=\frac{n}{2}$ ya que $\alpha^2=1$ .
Desde $\alpha\beta=\beta^{-1}\alpha$ tenemos $\beta^{\frac{n}{2}+1}=\beta^{\frac{n}{2}-1}$ que sólo es cierto para $n=2$ .