Encuentre la FCD de Y en términos de la FCD de X.

Question

Dejemos que $Y$ sea una variable aleatoria formada por $X$ como $Y=X\mathsf 1_{\{X>0\}} + 2X^2\mathsf 1_{\{X\leqslant 0\}}$ .

(a) Calcule la fdc de $Y$ , $F_Y(y)$ en términos de la fdc de $X$ , $F_X(x)$ .

(b) Encuentre el pdf de $Y$ , $f_Y(y)$ cuando $f_X(x) = \frac1{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}$ .

Hice la primera parte de la siguiente manera:

Para $X>0$ :
$$F_Y(y) = \mathbb P(Y\leqslant y) = \mathbb P(X\leqslant Y) = F_X(y).$$

Para $X\leqslant 0$ : $$ F_Y(y) = \mathbb P(Y\leqslant y) = \mathbb P(2X^2\leqslant y) = F_X\left(\sqrt{y/2})\right). $$

Por lo tanto,

$$ F_Y(y) = F_X(y)\mathsf 1_{(0,\infty)}(x) + F_X\left(\sqrt{y/2}\right)\mathsf 1_{(-\infty)}(y). $$

Para la segunda parte no fui capaz de resolver ya que no sé si la primera parte es correcta o incorrecta.

Answer 1

No sé si la solución es correcta o no

Bastante cerca. Has notado que para los positivos $y$ En el caso de $\{Y\leqslant y\}$ es el evento de $\{-\sqrt{y/2~}\leqslant X\leqslant 0\}$ o $\{0< X \leqslant y\}$ Así que $$F_Y(y) = (F_X(y)-F_X(-\surd(y/2)))~\mathbf 1_{y\geqslant 0}$$

[Nota: tenga cuidado con las mayúsculas y minúsculas. El valor $y$ y la variable aleatoria $Y$ no debe confundirse].

Ahora, para la segunda, evalúa la derivada y sustituye: $$f_Y(y)=\dfrac{\mathrm d ~~}{\mathrm d y}F_Y(y)$$

Answer 2

Su respuesta es incorrecta. El evento $(Y\le y)$ es la unión de dos eventos disjuntos $(0\le X\le y)$ y $(-\sqrt{\frac{y}{2}}\le X\le 0)$ . Por lo tanto, $F_Y(y)=(F_X(y)-F_X(0))+(F_X(0)-F_X(-\sqrt{\frac{y}{2}})=F_X(y)-F_X(-\sqrt{\frac{y}{2}})$

Para la segunda parte $f_Y(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}(e^{-\frac{y^2}{2}}+\frac{1}{2\sqrt{2y}}e^{-\frac{y}{4}})$

Tenga en cuenta que $F_Y(y)=0$ y $f_Y(y)=0$ para $Y\lt 0$

Nota: Empecé a escribir esto utilizando su texto manuscrito. Sin embargo veo que lo habías corregido parcialmente para el texto mecanografiado.