Análogos de alta dimensión de los espacios poligonales

Question

[Editar: Tuve un error en la numerología (tomé d=6,5 en lugar de d=5,4). Edit: He identificado erróneamente mi error, es 6,5 pero tengo los índices desplazados por uno].

Antecedentes: Espacios poligonales

Dado un polígono P en el espacio podemos considerar el espacio de todas sus incrustaciones cuando las longitudes de las aristas son fijas y moduladas por el movimiento rígido del espacio. Tales espacios se denominan espacios poligonales: véase, por ejemplo, el artículo Espacios poligonales y grassmanianos por Jean-Claude Hausmann y Allen Knutson. (Véase también la pregunta de MO Espacio de polígonos simples en $n$ -como un conjunto de puntos en $\mathbb{R}^{2n}$ .)

La dimensión de estos espacios puede recuperarse mediante una simple numerología: El número de grados de libertad es $3n$ de esto hay que restar $n$ restricciones dadas por la longitud de las aristas, y la dimensión 6 de los movimientos rígidos del espacio, y te queda $2n-6$ .

Si se consideran las incrustaciones en el plano y no en el espacio, entonces la dimensión de su espacio es $2n-n-3 = n-3$ . La idea de que tales espacios de polígonos tienen estructura simpléctica se atribuye en el artículo de Hausmann y Knutson a Cappell. [AK añade: Parece que fue observada por primera vez por Klyachko].

El hecho de que $n-3$ es la mitad de $2n-6$ no es una coincidencia y, de hecho, el espacio de incrustaciones planas corresponde a submanifolds lagrangianos de los espacios poligonales.

Entre la numerología simple y los espacios complicados podemos identificar algunos objetos intermedios: los espacios vectoriales tangentes. Son los espacios vectoriales de los movimientos infinitesimales de un polígono incrustado en $R^3$ o $R^2$ . Después de modificar los movimientos infinitesimales que surgen de los movimientos rígidos de todo el espacio (o plano), nos quedan espacios vectoriales de dimensiones $2n-6$ y $n-3$ respectivamente.

Resumen: Hablando de espacios poligonales podemos identificar tres niveles:

Numerología: $2n-6$ grados de libertad a incrustaciones de polígonos en $R^3$ , $n-3$ grados de libertad a incrustaciones de polígonos en $R^2$ .

Álgebra lineal: Los espacios vectoriales de los movimientos infinitesimales de los polígonos incrustados en el plano y el espacio.

Manifestaciones simplécticas: Los espacios poligonales y sus submanifolds lagrangianos.

Los espacios poligonales tienen varias estructuras en ellos y son bastante emocionantes.

La idea:

Los polígonos son triangulaciones de $S^1$ . Extender la noción de "espacio poligonal" a ciertas incrustaciones de triangulados $(2k+1)$ -Esferas dimensionales. Hablaré principalmente del "siguiente caso" que son las triangulaciones de $S^3$ .

Problema : Describa un análogo apropiado de los "espacios poligonales" para las triangulaciones de esferas tridimensionales.

Detalles: De la numerología a los espacios

Numerología --->>> Álgebra lineal (espacios vectoriales) --->> Variedades/espacios.

1) La numerología:

La numerología se refiere a la dimensión de nuestros hipotéticos análogos para los espacios poligonales.

Dada una secuencia de enteros no negativos $(f_{-1}=1) ,f_0, f_1, f_2 \dots$ y un número entero $d \ge 0$ definimos una nueva secuencia $g_0[d]$ , $g_1[d]$ , $g_2[d], \dots$ de la siguiente manera: $$g_0[d] = 1,$$ $$g_1[d] = f_0 - d,$$ $$g_2[d] = f_1 - (d-1) f_0 + {{d} \choose {2}},$$ $$g_3[d] = f_2 - (d-2) f_1 + {{d-1} \choose {2}} f_0 - {{d} \choose {3}},$$ etc. (Pero a continuación sólo nos preocupamos por g_2 y g_3)

La secuencia $f_0, f_1,\dots $ normalmente viene como el $f$ -de algún complejo simplicial y las nuevas secuencias $g_i[d]$ son importantes para estudiar la combinatoria de estos complejos.

polígonos

Ahora, si tenemos un polígono con n vértices tenemos: $$f_0 = f_1 = n ,$$ $$g_2[3] = -(n-3)$$ y $$g_2[4] = -(2n-6),$$ que son las dimensiones de los espacios poligonales para las incrustaciones en $R^2$ y $R^3$ respectivamente.

El siguiente caso: triangulaciones de $S^3$ .

El siguiente caso análogo es comenzar con una triangulación $K$ de $S^3$ con $f_0$ vértices $f_1$ bordes $f_2$ triángulos y $f_3$ 3-simples.

Aquí (usando el teorema de Euler) es fácil verificar que para cada $K$ tenemos $$g_3[6] = 2g_3[5].$$ (Ambas cantidades son negativas).

Por lo tanto, la sugerencia es que $-g_3[6]$ debería ser la dimensión de un "espacio poligonal generalizado" para algún tipo de incrustación de la triangulación $K$ (posiblemente en $ R^5$ ), y $-g_3[5]$ la dimensión para la "incrustación" de $K$ (posiblemente en $R^4$ ). Es de esperar que esta última corresponda a un submanifold lagrangiano de la primera.

( Observación: en los comentarios Misha propuso hacer la incrustación en ciertos espacios CAT (1).

Permítanme verificar la identidad que he descrito: $g_3[6] = f_2-4f_1+10f_0-20$ y $g_3[5]=f_2-3f_1+6f_0-10.$ Para las 3 esferas trianguladas, el teorema de Euler afirma que $f_0-f_1+f_2-f_3=0$ y también $f_2=2f_3$ y por lo tanto $f_2=2f_1-2f_0$ . De ello se desprende que $$g_3[6]=-2f_1+8f_0-20,$$ mientras que $$g_3[5]=-f_1+4f_0-10.$$

2) El álgebra lineal

El álgebra lineal se refiere a los espacios vectoriales tangentes de nuestros espacios hipotéticos.

polígonos:

Para un gráfico $G$ considerar la cantidad
$X$ = (el número de aristas - $m$ el número de vértices + ${{m+1} \choose{2}})$ .

$X$ ( $=g_2$ ) es un límite inferior (interesante, por supuesto, sólo cuando $X$ es no negativo) en el espacio de tensiones infinitesimales cuando los vértices del grafo están incrustados en $R^m$ . $-X$ es un límite inferior del número de flexiones infinitesimales para tales incrustaciones (esto es interesante cuando $X$ es negativo).

Para los polígonos incrustados en $R^2$ y $R^3$ . $X$ es no positivo y $-X$ es la dimensión de las flexiones infinitesimales (no sólo un límite inferior). Son las tangentes de los espacios poligonales.

Triangulaciones de $S^3$ .

Para un complejo simplicial de 2 dimensiones $K$ podemos dejar que $$Y=f_2 - (d-2) f_1 + {{d-1} \choose {2}}f_0 - {{d} \choose {3}}.$$ (Lo llamamos $g_3[d]$ antes). Nos preocupamos por $d=6$ así que $$Y=f_2-4f_1+10f_0-20.$$

Existen algunas nociones conocidas de flexiones y tensiones infinitesimales de alta dimensión que están limitadas por $Y$ (o $-Y$ respectivamente).

Hay conjeturas para las esferas simpliciales, que se demuestran para los politopos simpliciales, de que estos límites son ajustados.

Estos espacios son quizás tangentes a algunos espacios hipotéticos de tipo poligonal (pero sólo en puntos muy especiales).

3) ¿Qué aspecto puede tener el espacio poligonal?

Esta sugerencia en particular probablemente no funcione, pero permite describir lo que estoy haciendo.

Incrustamos los vértices de $k$ el triangulado $S^3$ en algún lugar fijo. Necesitamos 4 grados de libertad para cada arista y una restricción para cada triángulo.

Por ejemplo, podemos dejar que las aristas sean arcos entre los vértices correspondientes que son parábolas; los "triángulos" serán cuadráticos (describiendo una superficie de área mínima) que prolongan los arcos correspondientes a las aristas.

La condición es que las áreas de los "triángulos" estén prescritas.

Answer 1

Antes de describir mi construcción, explicaré por qué es natural: En la configuración de Gil, se supone que fijamos un cierto conjunto de vértices (puntos en algún espacio $X$ ) y variar los bordes que los conectan. Si las aristas son geodésicas, entonces necesitamos $X$ donde las geodésicas con puntos finales fijos están lejos de ser únicas. Redondo $n$ -esferas $S^n$ proporcionan ejemplos naturales, donde los puntos antípodas están conectados por $n-1$ familias dimensionales de geodésicas. Sin embargo, en la esfera, cada punto es antipodal a un único punto, por lo que $S^n$ no es suficiente. Los edificios esféricos son una generalización natural de las esferas redondas en las que los antípodas no son únicos.

Esta es una receta general para conseguir espacios de $d$ -espacio de geodésicas que conectan puntos "antipodales".

Dejemos que $G$ sea un grupo de Lie real que es el conjunto de puntos reales de un grupo algebraico semisimple sobre reales (asumo que $G$ no tiene factores compactos). Asumiré que $r$ el rango (real) de $G$ es $>1$ . Sea $R$ sea el sistema de raíces de $G$ y $R_+$ sea el conjunto de raíces positivas con respecto a una elección de subgrupo de Borel $B\subset G$ . Sea $W$ sea el grupo de Weyl de $G$ .

Entonces se asocia con $G$ a edificio esférico (Tits) $X$ . Se puede pensar en $X$ combinatoria como un complejo celular que codifica inclusiones entre subgrupos parabólicos de $G$ . Pensaré en $X$ como un complejo celular metrizado, donde cada célula es isométrica a una célula del complejo de Coxeter $(S,W)$ Aquí $S$ es la esfera de dimensión $r-1$ . Dada dicha métrica, se puede hablar de segmentos geodésicos en $X$ que son trayectorias (globalmente) minimizadoras de la longitud. El grupo $G$ actúa sobre $X$ por isometrías, preservando la estructura combinatoria de $X$ . Entonces toda geodésica en $X$ tiene una longitud $\le \pi$ y está contenida en un apartamento en $X$ que es una copia isométrica de $S$ en $X$ . Cámaras en $X$ son las facetas, están estabilizadas por los subgrupos de Borel de $G$ .

En general, los estabilizadores $G_\sigma$ de células $\sigma$ en $X$ son subgrupos parabólicos en $G$ (según la definición de $X$ ). Utilizaré la notación $G_x$ para el $G$ -estabilizador de un punto $x$ en $X$ . Entonces $G_x=G_\sigma$ , donde $\sigma\subset X$ es la célula más pequeña que contiene $x$ . Dos geodésicas orientadas se llaman congruentes si existe entre ellas una isometría que preserva la orientación inducida por un elemento de $G$ . Entonces, dada una geodésica orientada $\gamma\subset X$ el espacio de $\Gamma_\gamma$ de geodésicas orientadas en $X$ congruente con $\gamma$ se identifica naturalmente con $G/G_\Gamma$ , donde $G_\gamma$ es el estabilizador de $\gamma$ en $G$ . Es fácil ver que $G_\gamma$ es de nuevo un subgrupo algebraico de $G$ Así que $\Gamma_\gamma$ es una variedad homogénea. Esto explica por qué los conjuntos de geodésicas congruentes son útiles para definir "aristas" entre puntos en $X$ .

Dos puntos en $X$ se llaman antípodas si están a una distancia $\pi$ . La propiedad clave de $X$ es que tiene abundancia de puntos antipodales y las geodésicas entre dichos puntos están lejos de ser únicas. En primer lugar, si $x, y$ son antípodas y pertenecen a un departamento $S\subset X$ entonces tenemos $r-2$ -de geodésicas entre $x$ y $y$ contenida en $S$ . Sin embargo, la mayoría de ellas no serán congruentes entre sí. Una construcción más interesante de geodésicas que conectan $x$ a $y$ es la siguiente: Sea $\xi$ sea un germen de una geodésica en $X$ que emana de $x$ . Entonces $\xi$ puede extenderse (de forma única) a una geodésica $\gamma_\xi$ conectando $x$ a $y$ . Se obtienen geodésicas congruentes $\gamma_\xi$ utilizando gérmenes $\xi$ que pertenecen a un único $G_x$ -órbita, donde $G_x=G_\sigma$ es un subgrupo parabólico de $G$ ( $\sigma$ es la célula mínima en $X$ que contiene $x$ ).

Así, el espacio de geodésicas congruentes que conectan $x$ a $y$ (con gérmenes en $x$ de tipo $\xi$ ) se identifica naturalmente con el cociente $$ G_x/G_\xi=G_\sigma/G_\tau, $$ donde $\tau$ es la célula más pequeña de $X$ que contiene $\xi$ .

Nuestro objetivo es entonces encontrar edificios $X$ y los pares de células $(\sigma, \tau)$ con $\sigma\subset \tau$ para que..:

1. $dim(G_\sigma/G_\tau)=4$ .

2. El subgrupo Levi de $G_\sigma$ admite un epimorfismo a un grupo localmente isomorfo a $SL(2, {\mathbb R})$ para que $G_\tau$ está contenida en el núcleo.

Lo haré cuando $G$ se divide, ya que los cálculos son más fáciles en este caso. Entonces cada subgrupo parabólico $P$ de $G$ corresponde (hasta la conjugación) a un subsistema raíz $R'$ en $R$ , donde ${R}'$ se obtiene omitiendo algunos nodos en el diagrama de Dynkin de $R$ . Entonces $P$ tiene dimensión $$|R_+'| + |R_+| + r$$ Tenga en cuenta que $|R_+| + r$ es la dimensión del subgrupo de Borel $B$ de $G$ la dimensión más pequeña posible para una parabólica. En particular, $$ d(R')=dim(P)-dim(B)= |{R'}_+|. $$

Así, si tomamos, por ejemplo, $G_\tau=B$ entonces puedo obtener cualquier valor para $$ d(R')=dim(P)-dim(B)=dim(G_\sigma/G_\tau) $$ (sin exceder, digamos, $r/2$ ) tomando $R'$ para ser una suma directa de subsistemas raíz de rango 1 en $R$ (por lo que el diagrama de Dynkin para $R'$ no contiene aristas). Esto satisfará la condición 1, por supuesto.

He aquí un ejemplo un poco más interesante. Dejemos que $G=SL(5, {\mathbb R})$ , $r=4$ . Tome $R'$ que se obtiene eliminando uno de los nodos centrales del diagrama de Dynkin de $R$ para que $R'\cong A_1\oplus A_2$ y el factor Levi de $P$ es localmente isomorfo a $SL(2, {\mathbb R})\times SL(3, {\mathbb R})$ . Entonces $d(R')=1+3=4$ . En particular, $P$ es una parábola máxima y, por lo tanto, $\sigma=x$ es un vértice de $X$ . Como alternativa, se puede utilizar $G=SL(3, {\mathbb R})\times SL(3, {\mathbb R})$ donde no importa el nodo que se elimine, se sigue obteniendo $R'\cong A_1\oplus A_2$ . A continuación, consideraré $G= SL(5, {\mathbb R})$ .

Ahora, el espacio de geodésicas $\Sigma_{x,y,\xi}$ conectando $x$ a un punto antipodal $y$ y que tiene un tipo de congruencia regular fijo, es una variedad suave de 4 dimensiones. (El tipo de congruencia regular corresponde a la suposición de que el germen $\xi$ no está contenida en ninguna pared de $X$ Así que $\tau$ es una cámara en $X$ y $G_\tau$ es Borel). Este es el grado de libertad de las aristas en $X$ que Gil pidió.

Ahora, puedo explicar por qué la condición 1 anterior es útil. Supongamos que $H$ es un grupo que admite un epimorfismo $\rho: H\to SL(2, {\mathbb R})$ . Entonces $H$ contiene un subgrupo de codimensión 1 $H'$ obtenida como preimagen de un Borel en $SL(2, {\mathbb R})$ . En el contexto de la pareja $P=G_\sigma, G_\tau$ , obtengo otra parabólica $P'=H'$ de codimensión 1 en $P=H$ y que contiene $G_\tau$ . Ahora, usando $P'$ -órbita del germen anterior $\xi$ (en lugar del $P$ -órbita), obtendré un submanifold de 3 dimensiones en el colector de geodésicas $\Sigma_{x,y,\xi}$ .

Así, tenemos espacios de aristas que conectan $x$ a $y$ que tienen dimensiones $4$ y $3$ respectivamente, que es lo que pidió Gil.

Nuestro siguiente objetivo es imponer restricciones a las 2 caras de la 3esfera, es decir, a los triángulos $T_i$ cuyos vértices son vértices antipodales $x_1, x_2, x_3$ en $X$ y cuyas aristas se han descrito anteriormente. Sea $\xi_i, i=1,2,3$ denotan los gérmenes (en $x_i$ ) de las aristas orientadas $[x_i,x_{i+1}]$ Cada germen $\xi_i$ está contenida en una cámara única $\sigma_i$ en $X$ . Genéricamente, las cámaras $\sigma_i$ son mutuamente antípodas. Sea $C_3(X)$ denotan el espacio de triples ordenados de cámaras antípodas en $X$ . Este espacio es biracional a $U/T$ , donde $U$ es un radical unipotente de $B$ y $T\subset G$ es el máximo toro normalizador $U$ y actuando sobre $U$ a través de la conjugación. Por lo tanto, $C_3(X)$ tiene dimensión $|R_+|-r$ En nuestro ejemplo $G=SL(5, {\mathbb R})$ Es decir, es $10-4=6$ .

Por lo tanto, tenemos un montón de funciones en $C_3(X)$ a elegir para imponer una restricción para cada triángulo. A continuación se presenta una elección algo aleatoria, basada en mi lectura del artículo de Fock y Goncharov "Moduli spaces of local systems and higher Teichmuller theory". Una cámara en $X$ (en el caso de $G=GL(n, {\mathbb R})$ está dada por una bandera completa $F=(V_0\subset V_1\subset ... \subset V_n)$ en $V={\mathbb R}^n$ . Si $n=3$ entonces $C_3(X)$ es unidimensional con un único invariante (el más natural) de un triple de banderas $(F_1,F_2,F_3)$ dado por Goncharov triple relación ,

$$ \rho(F_1,F_2,F_3)=\frac{\langle f_1, v_2 \rangle \langle f_2, v_3 \rangle \langle f_3, v_1 \rangle} {\langle f_1, v_3 \rangle \langle f_2, v_1 \rangle \langle f_3, v_2 \rangle} $$

Aquí $f_k$ son funciones lineales sobre ${\mathbb R}^3$ cuyos núcleos son 2 planos en las banderas $F_k$ y $v_k$ son vectores base en las líneas de las banderas $F_k$ . Para $n\ge 4$ dado un triple de banderas $(F_1,F_2,F_3)$ , tomando el cociente de $V$ por el subespacio $V_{n-3}$ que aparecen en el $i$ -ésima bandera, reduzco la dimensión a $3$ y, por lo tanto, puede obtener la triple relación $\rho_i$ de la imagen de mi bandera en el espacio tridimensional resultante. Ahora, tomaré la función $h: C_3(X)\to {\mathbb R}$ dado por

$$ h(F_1,F_2,F_3)=\rho^2_1+\rho^2_2+\rho^2_3. $$

Entonces, impongo una restricción $h(T_i)=t_i\in {\mathbb R}_+$ para cada cara triangular $T_i$ en la 3ª esfera. Esto funciona para el $n$ pero me limitaré al caso $n=5$ .

Por el momento, no tengo ni idea de dónde está la estructura simpléctica en el espacio resultante de los mapas de $S^3$ a $X$ de la que vendría (en realidad, sí, sólo que no sé cómo hacerlo funcionar). En lugar de $G=SL(5, {\mathbb R})$ uno puede tener que utilizar otro grupo de Lie. La forma más fácil de obtener una estructura simpléctica es utilizar alguna forma de reducción simpléctica, que es como lo hizo primero Klyachko y luego en mi artículo con Millson "The symplectic geometry of polygons in Euclidean space", Journal of Diff. Geometry, Vol. 44 (1996) p. 479-513, o en mi artículo con Millson y Treloar "The symplectic geometry of polygons in hyperbolic 3-space", Asian Journal of Math., Vol. 4 (2000), N1, p. 123-164. Este último utilizó la teoría de Poisson Lie, que, de alguna manera, parece más prometedora.