Representar las fuerzas como formas únicas

Question

Esta pregunta surgió a raíz de mi primera pregunta Interpretación de los campos vectoriales como derivaciones de la física . El punto aquí es: si alguna fuerza $F$ es conservador, entonces hay algún campo escalar $U$ que es el potencial para que podamos escribir $F = - \nabla U$ .

Está bien, dice que la fuerza es un covector, pero la cuestión es: cuando empezamos a pensar en espacios curvos, en general en vez de hablar de gradientes y covectores hablamos de derivadas exteriores y formas uno.

Mi pregunta entonces es: si una fuerza es conservadora con potencial $U$ entonces es correcto representar la fuerza por la forma única obtenida por la derivada exterior del potencial, es decir la forma $F = -dU$ ?

En segundo lugar, si la fuerza no es conservadora, ¿es correcto pensar en ella como una forma única todavía? Pero ahora ¿cuál es la interpretación?

Traté de dar esta interpretación: supongamos que estamos tratando con algún múltiple $M$ y supongamos que $(V,x)$ es un gráfico de coordenadas. Entonces $\left\{dx^i \right\}$ abarca el espacio cotangente, y así, si interpretamos alguna fuerza en el punto $p$ como alguna forma $F \in T^\ast_pM$ entonces tendremos $F=F_idx^i$ utilizando la convención de la suma.

Ahora bien, si tomo algún vector $v \in T_pM$ podemos calcular $F(v) = F_idx^i(v)$ Sin embargo, $dx^i(v)=v^i$ y por lo tanto $F(v)=F_iv^i$ y entonces mi conclusión es: si interpreto la fuerza en un punto como una forma en el punto, entonces será una forma que cuando se le da un vector, da el trabajo realizado al mover una partícula en la dirección del vector dado.

Así, si una fuerza varía de un punto a otro, podría representarla como un campo de una forma que puede integrarse a lo largo de alguna trayectoria para encontrar el trabajo total realizado.

¿Puede alguien responder a estos puntos y decirme si mi conclusión es correcta?

Answer 1

Para entender qué es un campo de fuerza newtoniano, veamos la segunda ley de Newton $$ F = ma $$ Esto se traduce en la siguiente relación diferencial-geométrica $$ (m\circ\dot q)^\cdot = F\circ\dot q $$ donde $m:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}^*M$ se mapea desde el espacio de la velocidad al del momento y $q:I\subset\mathbb R\to M$ es la trayectoria.

El campo de fuerza termina siendo un mapa $$ F:\mathrm{T}M\to \mathrm{T}\mathrm{T}^*M $$

Dejemos que $$ \pi:\mathrm{T}^*M\to M \\ \Pi:\mathrm{T}\mathrm{T}^*M\to \mathrm{T}^*M $$ sean las proyecciones del haz.

Entonces $$ m = \Pi\circ F \\ \mathrm{T}\pi\circ F = \mathrm{id}_{\mathrm{T}M} $$

Esta última ecuación es el equivalente a la condición de semiproyección y nos indica que estamos tratando con un campo de segundo orden.

Porque los paquetes $\mathrm{T}\mathrm{T}^*M$ y $\mathrm{T}^*\mathrm{T}M$ son naturalmente isomorfas - en coordenadas, sólo cambiamos los componentes $(x,p;v,f)\mapsto(x,v;f,p)$ - podemos representarla como una forma diferencial en $\mathrm{T}M$ , que es sólo el diferencial $\mathrm dL$ de la función de Lagrange (la ecuación de Euler-Lagrange son ecuaciones de movimiento newtonianas).

Ahora bien, el espacio de los campos de fuerza newtonianos no tiene una estructura natural de espacio vectorial, sino una estructura afín. Es necesario especificar una fuerza nula -una fuerza de inercia- para convertirlo en uno. Dicha fuerza puede venir dada, por ejemplo, por el spray geodésico de la relatividad general.

Una vez hecho esto, se puede representar el campo de fuerza como una sección del haz de atracción $\tau^*(\mathrm{T}^*M)$ donde $\tau:\mathrm{T}M\to M$ . Se trata de un campo covector dependiente de la velocidad, que se puede integrar o derivar de una función potencial (en caso de independencia de la velocidad).

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Ahora, para aquellos que se sientan incómodos con este nivel de abstracción, vamos a intentar un enfoque más práctico:

Geométricamente, la aceleración viene dada por $(x,v;v,a)\in\mathrm{TT}M$ . Sin embargo, ese espacio tiene una estructura errónea: si sumamos dos aceleraciones que actúan sobre la misma partícula, terminamos con $(x,v;2v,a+a')$ que ya no es una aceleración válida.

Lo que queremos en cambio son vectores $(x;a)\in\mathrm{T}M$ o $(x,v;a)\in\tau^*(\mathrm{T}M)$ en el caso de las aceleraciones dependientes de la velocidad, y una receta de cómo llegar de éstas a nuestra aceleración original, ya que eso es lo que ocurre en nuestra ecuación de movimiento.

Supongamos que nuestra aceleración es independiente de la velocidad y está representada por $(x;a)\in\mathrm{T}M$ . Levantando el vector verticalmente en $(x;v)\in\mathrm{T}M$ llegamos a $(x,v;0,a)\in\mathrm{TT}M$ . Lo que "falta" es el componente horizontal $(x,v;v,0)\in\mathrm{TT}M$ .

Aunque dicha elevación horizontal parece trivial en coordenadas, no es una operación "natural" en geometría diferencial. Esto se puede arreglar de dos maneras obvias, ya sea proporcionando una conexión (es trivial ver cómo esto funciona si se toma el enfoque geométrico debido a Ehresmann) o especificando manualmente la aceleración 'cero' debido a la inercia.

La pregunta que queda por responder es por qué utilizamos las fuerzas en lugar de las aceleraciones, o formulado de otra manera, ¿por qué nos movemos al espacio cotangente?

Desde el punto de vista de la geometría diferencial, una respuesta a esa pregunta es porque queremos trabajar con potenciales, que son objetos menos complicados, y la diferencial da covectores en lugar de vectores.

Otro punto a tener en cuenta es que $\mathrm{TT^*}M$ , $\mathrm{T^*T}M$ y $\mathrm{T^*T^*}M$ son naturalmente isomorfos, mientras que $\mathrm{TT}M$ no lo es. Estos isomorfismos conducen a varias formulaciones (más o menos) equivalentes de la mecánica analítica, incluyendo el enfoque newtoniano, lagrangiano y hamiltoniano.

Disculpas por ampliar el alcance de la pregunta - siéntase libre de ignorar estas divagaciones ;)

Answer 2

Hubo una larga discusión sobre si la fuerza es naturalmente un vector o un covector en physicsforums: http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=666861 .

Si defines el momento como "lo que es conjugado con la posición", entonces el momento es un covector. Es decir, si tienes un Lagrangiano, entonces:

$$p_\mu =\frac{\partial L}{\partial \dot{x}^\mu}$$

La fuerza puede interpretarse entonces como $d p_\mu / d \tau$ . O bien, se puede definir la fuerza directamente desde el Lagrangiano como:

$$F_\mu=\frac{\partial L}{\partial x^{\mu}}$$

Combinado con el argumento sobre el trabajo que usted proporcionó, donde $W=\int F_{i} dx^{i}$ parece muy convincente que la fuerza se interprete naturalmente como un covector.

Answer 3

Todo lo que has dicho es correcto. Si una fuerza no es conservadora, sigue teniendo sentido como forma 1, aunque no sea exacta.

Obsérvese también que la condición $\vec{\nabla} \times \vec{F} =0$ para que una fuerza esté determinada localmente por un potencial puede escribirse como $d F=0$ para que $F=-d U$ para alguna función $U$ por el lema de Poincare.

De forma más general tenemos los potenciales de la forma p $A$ a la que asociamos las intensidades de campo de la forma p+1 $dF$ . Por ejemplo, en el electromagnetismo (¡de nuevo!) podemos combinar los potenciales vectoriales y escalares en una 1 forma en el espaciotiempo (3+1=4) y el tensor de intensidad de campo resultante es este uno.