Para mayor claridad, fijemos definiciones precisas. A Fibración Kan de conjuntos semisimplificados es un morfismo que tiene la propiedad de elevación correcta respecto a las inclusiones de cuerno $\Lambda^n_k \hookrightarrow \Delta^n$ , donde $\Delta^n$ significa aquí el conjunto semisimplificado representado por $[n]$ . A equivalencia débil de homotopía de conjuntos semisimplificados es un morfismo cuya realización geométrica es una equivalencia homotópica.
En resumen:
- No hay no existe una estructura modelo sobre la categoría de conjuntos semisimplificados donde las equivalencias débiles son las equivalencias débiles de homotopía.
- No hay no existe una subcategoría completa de conjuntos semisimplificados que contiene $\Delta^0$ así como conjuntos semisimplicitos no discretos y admite la estructura de una categoría de objetos fibrantes donde las equivalencias débiles son las equivalencias débiles de homotopía y los pullbacks de las fibraciones se preservan mediante el functor de inclusión. (Esto no es exactamente una respuesta a su pregunta, ya que $\Delta^0$ est no un conjunto semisimplicial Kan-fibrante).
Dejemos que $i^*$ sea el funtor de olvido de conjuntos simpliciales a conjuntos semisimpliciales. Tiene un adjunto izquierdo $i_!$ y un adjunto derecho $i_*$ . Está claro que $i_! (\Lambda^n_k \hookrightarrow \Delta^n)$ es (isomorfo a) la correspondiente inclusión de cuernos en conjuntos simpliciales, por lo que un morfismo $X \to Y$ de conjuntos simpliciales es una fibración Kan si y sólo si $i^* (X \to Y)$ es una fibración Kan de conjuntos semisimplificados. También está claro que un morfismo $X \to Y$ de conjuntos semisimplificados es una equivlencia homotópica débil si y sólo si $i_! (X \to Y)$ es una equivalencia homotópica débil de conjuntos simpliciales. Esto suena bien, pero ¡nótese que los funtores implicados en las dos observaciones van en direcciones opuestas! Por eso, básicamente, no podemos utilizar la maquinaria habitual para transferir la estructura del modelo de los conjuntos simpliciales a los conjuntos semisimpliciales.
De hecho, como he afirmado anteriormente, simplemente hay no manera de construir una estructura modelo o una categoría de objetos fibrantes con las propiedades deseadas.
Los comentarios aquí explicar por qué hay no posible estructura de modelo en la categoría de conjuntos semisimplificados donde las equivalencias débiles son las equivalencias débiles de homotopía definidas anteriormente. Reproduzco el argumento. Supongamos que existe tal estructura modelo. Sea $p : X \to Y$ sea una fibración trivial en la estructura del modelo putativo. Como en cualquier categoría de modelos, la clase de fibraciones triviales es cerrada bajo pullback, por lo que para cada $n$ -simplemente $y : \Delta^n \to Y$ obtenemos una fibración trivial $p_y : X_y \to \Delta^n$ . Pero $\Delta^n$ no tiene $m$ -simples para $m > n$ Así que $X_y$ tampoco tiene $m$ -simplemente. En el caso $n = 0$ , $p_y : X_y \to \Delta^0$ debe ser, por tanto, un isomorfismo. Por inducción en $n$ deducimos que $p : X \to Y$ es un isomorfismo en el $n$ -esqueleto para cada $n \ge 0$ Por lo tanto $p : X \to Y$ es un isomorfismo de conjuntos semisimplificados. Por lo tanto, toda fibración trivial en la estructura del modelo putativo es un isomorfismo. Esto implica que todo morfismo es una cofibración, lo que significaría que todo pushout es automáticamente un pushout homotópico -pero, por ejemplo, el pushout de $\Delta^0 \leftarrow \Delta^0 \amalg \Delta^0 \rightarrow \Delta^0$ no es un empuje homotópico. Por lo tanto, no existe tal estructura modelo.
El argumento anterior no excluye, prima facie, la posibilidad de que exista alguna subcategoría completa de conjuntos semisimplificados que admita la estructura de una categoría de objetos fibrantes que contenga $\Delta^0$ y donde las equivalencias débiles son las equivalencias débiles de homotopía y la inclusión preserva los pullbacks de las fibraciones. Dado que $\Delta^0$ se supone fibrante, nosotros puede aplicar el argumento anterior para deducir que toda fibración trivial (de conjuntos fibrantes semisimplificados) es un isomorfismo de 0-skeleta. Esto ya es problemático. Sea $X$ sea un conjunto fibrante semisimplicial. Tiene un objeto camino, es decir $(P, i, p_0, p_1)$ donde $P$ es un conjunto fibrante semisimplicial, $i : X \to P$ es una equivalencia homotópica débil, $p_0, p_1 : P \to X$ son morfismos tales que $p_0 \circ i = p_1 \circ i = \textrm{id}_X$ y $\langle p_0, p_1 \rangle : P \to X \times X$ es un fibrado. Como siempre, $p_0, p_1 : P \to X$ son fibraciones triviales, por lo que son isomorfismos de 0-skeleta. Por lo tanto, $i : X \to P$ también es un isomorfismo de 0-skeleta. Pero eso significa que cada camino en $X$ es constante - en particular, no hay caminos entre puntos distintos, ni bucles. Así que los únicos objetos de nuestra subcategoría son conjuntos discretos.
Los argumentos anteriores no utilizan en realidad nada especial sobre los símiles. El punto clave es que un conjunto semisimplificado no tiene degeneraciones, por lo que no hay mapas semisimplificados $X \to Y$ si $X$ tiene un $n$ -simplemente y $Y$ no tiene ningún $n$ -simples. (En particular, $\Delta^0$ no es un objeto terminal). Así que el mismo argumento se aplica, por ejemplo, a la categoría de conjuntos cúbicos sin degeneraciones, o a la categoría de conjuntos globulares sin degeneraciones, etc.
