Manipulación de la desigualdad de la distribución normal

Question

Lo sé. $\Pr[N(\mu, \sigma^2) \geq \mu + k \sigma] = \Pr[N(0, 1) \geq k]$ .

Digamos que se me da, $\Pr[N(\mu, \sigma^2) \geq \mu + q \sigma] = \Pr[N(0, 1) \leq k]$ .

¿Cómo puedo encontrar una relación entre $q$ y $k$ ?

Answer 1

$k=-q$ como insinuó @Tunococ. Siguiendo su notación tenemos $\Pr[N(\mu, \sigma^2) \geq \mu + q \sigma] = \Pr[N(0, 1) \ge q]$ .

Se nos da que $\Pr[N(\mu, \sigma^2) \geq \mu + q \sigma] = \Pr[N(0, 1) \leq k]$ .

Igualando el RHS obtenemos ( $\Phi()$ = cdf normal estándar)

$\Pr[N(0, 1) \ge q] = \Pr[N(0, 1) \leq k] \Rightarrow 1-\Pr[N(0, 1) \le q] = \Pr[N(0, 1) \leq k]$

$\Rightarrow 1- \Phi(q) = \Phi(k) \Rightarrow \Phi(-q)=\Phi(k) \Rightarrow -q=k$ .