¿Son iguales los grupos de homología para la homología simplicial y la homología singular con coeeficientes?

Question

Dejemos que $X$ sea un espacio topológico con un $\Delta$ -estructura compleja. Sabemos que $H_n^\Delta(X)\cong H_n(x)$ (Teorema 2.27 Topología algebraica Hatcher). Mi pregunta es la siguiente: ¿Esto también es válido para otros coeficientes que $\mathbb{Z}$ ?

Para ser más precisos:

Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano, y sea $H_n(X;A)$ denotan el objeto resultante de aplicar la siguiente composición de funtores a $X$ : $$ \textbf{Top}\overset{\text{Singular Chains}}{\longrightarrow}\textbf{Ch}\overset{\square \otimes_\mathbb{Z}A}{\longrightarrow}\textbf{Ch}\overset{H_n}{\longrightarrow}\textbf{Ab}. $$ Dejemos que $H_n^\Delta(X;A)$ denotan el objeto resultante de aplicar la siguiente composición de funtores al complejo de cadenas simplicial $\Delta_*(X)$ : $$ \textbf{Ch}\overset{\square \otimes_\mathbb{Z}A}{\longrightarrow}\textbf{Ch}\overset{H_n}{\longrightarrow}\textbf{Ab}. $$ ¿Es cierto que $H_n(X;A)\cong H_n^\Delta(X;A)$ ?

Answer 1

1) Estoy 100% seguro de que la prueba es válida con coeficientes en cualquier grupo abeliano $A$ .

2) Si no quieres volver a mirar la prueba, se deduce para cualquier grupo de coeficientes $A$ del caso de $\Bbb Z$ el teorema de los cinco, y el teorema del coeficiente universal.