Encuentra todas las soluciones enteras de la ecuación $2^x + 3^y + 1 = 6^z$ ?

Question

Descargo de responsabilidad: esto no es una tarea . Vi la siguiente pregunta al azar en un anime(!) y sentí curiosidad.

Para $z \leq 2$ He encontrado las siguientes soluciones:

$x = 1, y = 1, z = 1$

$x = 2, y = 0, z = 1$

$x = 3, y = 3, z = 2$

$x = 5, y = 1, z = 2$

He introducido el problema en Wolfram Alpha y parece confirmar mis sospechas de que estas son las únicas soluciones.

¿Existen soluciones para $z > 2$ ? Si no es así, ¿cómo podemos demostrarlo?

Answer 1

No hay soluciones para $z \ge 3$ . Para demostrarlo, dividimos la búsqueda en cuatro casos.

Caso I: $x \ge 3$ . Entonces $2^x \equiv 0 \pmod{8}$ y $3^y \equiv 1 \ \text{or} \ 3 \pmod{8}$ y por lo tanto, $2^x+3^y+1 \equiv 2 \ \text{or} \ 4 \pmod{8}$ . Sin embargo, $6^z \equiv 0 \pmod{8}$ . Así que no hay soluciones en este caso.

Caso II: $x = 2$ . La ecuación se convierte en $3^y+5 \equiv 6^z$ . Desde $z \ge 3$ necesitamos $3^y = 6^z-5 \ge 6^3-5 = 211$ es decir, $y \ge 5$ . Pero entonces $3^y+5 \equiv 2 \pmod{3}$ mientras que $6^z \equiv 0 \pmod{3}$ . Así que no hay soluciones en este caso.

Caso III: $x = 1$ . La ecuación se convierte en $3^y+3 \equiv 6^z$ . Entonces, tenemos $3^y \equiv 1 \ \text{or} \ 3 \pmod{8}$ y así, $3^y+3 \equiv 4 \ \text{or} \ 6 \pmod{8}$ . Sin embargo, $6^z \equiv 0 \pmod{8}$ . Así que no hay soluciones en este caso.

Caso IV: $x = 0$ . La ecuación se convierte en $3^y+2 \equiv 6^z$ . Desde $z \ge 3$ necesitamos $3^y = 6^z-2 \ge 6^3-2 = 214$ es decir, $y \ge 5$ . Pero entonces $3^y+2 \equiv 2 \pmod{3}$ mientras que $6^z \equiv 0 \pmod{3}$ . Así que no hay soluciones en este caso.

Por lo tanto, no hay soluciones para $z \ge 3$ .