Aproximación de una función integrable por una función simple

Question

Dejemos que $(X,\Sigma, \mu)$ sea un espacio medible y que $f: X \mapsto \mathbb{R}$ sea una función integrable. Quiero demostrar que para $\epsilon > 0$ puedo encontrar una función simple g tal que $\int_{X} |f - g| d\mu < \epsilon$ .

Como f es integrable, sabemos que $\int f = \text{sup}\{\int g :\text{g is a simple function and } g \leq_{a.e} f\}$ por lo que si $g \leq_{a.e} f$ tenemos la desigualdad $\int f d\mu > \int g d\mu = \int \sum_\limits{i=1}^{n} a_{i} \chi(E_{i})d\mu$ donde cada $E_{i}$ son conjuntos medibles.

Pero ahora no estoy seguro de cómo proceder.

Answer 1

Empieza escribiendo $f=f_+-f_-$ donde $f_+(x):=\max(f(x),0)$ y $f_-(x):=\max(-f(x),0)$ .

Entonces $f_+,f_-$ son funciones no negativas que heredan la mensurabilidad y la integrabilidad de $f$ .

Por definición: $$\int f_+=\sup\left\{\int s\mid s\text{ is a simple function with }0\leq s(x)\leq f_+(x)\text{ for every }x\in X\right\}$$

Así que para cualquier $\epsilon>0$ podemos encontrar una función simple $g_1$ con $0\leq g_1(x)\leq f_+(x)$ por cada $x\in X$ y..: $$\int g_1\leq\int f_+<\frac12\epsilon+\int g_1$$

Del mismo modo, podemos encontrar una función simple $g_2$ con $0\leq g_2(x)\leq f_-(x)$ por cada $x\in X$ y..: $$\int g_2\leq\int f_-<\frac12\epsilon+\int g_2$$ Entonces $g:=g_1-g_2$ es una función simple con $(f-g)_+=f_+-g_1$ y $(f-g)_-=f_--g_2$ .

Entonces: $$\int|f-g|=\int (f-g)_++\int(f-g)_-=\int (f_+-g_1)+\int (f_--g_2)<\frac12\epsilon+\frac12\epsilon=\epsilon$$