Derivado total de $f(A,B)$ , donde $f:M(n,\mathbb{R}) \times M(n,\mathbb{R}) \to M(n,\mathbb{R})$

Question

Encuentre la derivada total de

i) $f(A,B)=A+B$ ,

ii) $g(A,B)=AB$

iii) $h(A,B)=A^2$

donde $f,g:M(n,\mathbb{R}) \times M(n,\mathbb{R}) \to M(n,\mathbb{R})$ y $h:M(n,\mathbb{R}) \to M(n,\mathbb{R})$

Dejemos que $A=[a_{ij}]$ , $B=[b_{ij}]$ , donde $1 \le i \le n, 1\le j \le n$

Si considero que el $f$ para ser una función en el $2n^2$ variables, entonces creo que $$Df= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots &0 &1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &1 &0 & \cdots &1\\ \end{bmatrix}$$ donde $Df$ es un $n^2 \times 2n^2$ matriz, la segunda $1$ aparece en el $n+1$ el lugar y así sucesivamente.

Asimismo, $$DG= \begin{bmatrix} B^t & 0_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &0_{n \times n} &a_{11}I_{n\times n} & \cdots &a_{1n}I_{n\times n}\\ 0_{n \times n} & B^{t}_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &0_{n \times n} &a_{21}I_{n\times n} & \cdots &a_{2n}I_{n\times n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_{n\times n}& 0_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &B^{t}_{n \times n} &a_{n1}I_{n\times n} & \cdots &a_{nn}I_{n\times n}\\ \end{bmatrix}$$ donde $Dg$ es un $n^2 \times 2n^2$ matriz, y $$DH=\begin{bmatrix} A^t+a_{11}I_{n \times n} &{ a_{12}}I_{n\times n} & {a_{13}}I_{n \times n} & \cdots &{a_{1n}}I_{n \times n}\\ a_{21}I_{n \times n} &A^t+{ a_{22}}I_{n\times n} & {a_{23}}I_{n \times n} & \cdots &{a_{2n}}I_{n \times n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{n1}I_{n \times n} &{ a_{n2}}I_{n\times n} & {a_{n3}}I_{n \times n} & \cdots &A^t+{a_{nn}}I_{n \times n}\\ \end{bmatrix}$$ .

Creo que estas son las matrices derivadas. ¡¡Gracias por la ayuda!!

Answer 1

I) Lineal. Por lo tanto, $D_xf=f$ para todos $x \in M(n,\mathbb{R}) \times M(n,\mathbb{R})$

ii) $g(x+h)=g(A+H_1,B+H_2)=(A+H_1)(B+H_2)=AB +AH_2+H_1B+H_1H_2 \implies$

$$\displaystyle D_xf=x_1.\left(pr_2\left(\cdot\right)\right) + \left(pr_1\left(\cdot\right)\right).x_2$$

iii) $h(x+h)=h(A+H_1,B+H_2)=(A+H_1)(A+H_1)=A^2+AH_1+H_1A+H_1^2 \implies$

$$\displaystyle D_xf=x_1.\left(pr_1\left(\cdot\right)\right) + \left(pr_1\left(\cdot\right)\right).x_1$$

(También podría verse como la composición del mapa $A \mapsto (A,A)$ y $g$ que obviamente da el mismo resultado por la regla de la cadena).