Encuentre la derivada total de
i) $f(A,B)=A+B$ ,
ii) $g(A,B)=AB$
iii) $h(A,B)=A^2$
donde $f,g:M(n,\mathbb{R}) \times M(n,\mathbb{R}) \to M(n,\mathbb{R})$ y $h:M(n,\mathbb{R}) \to M(n,\mathbb{R})$
Dejemos que $A=[a_{ij}]$ , $B=[b_{ij}]$ , donde $ 1 \le i \le n, 1\le j \le n$
Si considero que el $f$ para ser una función en el $2n^2$ variables, entonces creo que $$Df= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & \cdots &0 &1 & \cdots &0\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &1 &0 & \cdots &1\\ \end{bmatrix}$$ donde $Df$ es un $n^2 \times 2n^2$ matriz, la segunda $1$ aparece en el $n+1$ el lugar y así sucesivamente.
Asimismo, $$DG= \begin{bmatrix} B^t & 0_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &0_{n \times n} &a_{11}I_{n\times n} & \cdots &a_{1n}I_{n\times n}\\ 0_{n \times n} & B^{t}_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &0_{n \times n} &a_{21}I_{n\times n} & \cdots &a_{2n}I_{n\times n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots &\vdots & \vdots & & \vdots \\ 0_{n\times n}& 0_{n\times n} & 0_{n \times n} & \cdots &B^{t}_{n \times n} &a_{n1}I_{n\times n} & \cdots &a_{nn}I_{n\times n}\\ \end{bmatrix}$$ donde $Dg$ es un $n^2 \times 2n^2$ matriz, y $$DH=\begin{bmatrix} A^t+a_{11}I_{n \times n} &{ a_{12}}I_{n\times n} & {a_{13}}I_{n \times n} & \cdots &{a_{1n}}I_{n \times n}\\ a_{21}I_{n \times n} &A^t+{ a_{22}}I_{n\times n} & {a_{23}}I_{n \times n} & \cdots &{a_{2n}}I_{n \times n} \\ \vdots & \vdots & \vdots &\cdots &\vdots\\ a_{n1}I_{n \times n} &{ a_{n2}}I_{n\times n} & {a_{n3}}I_{n \times n} & \cdots &A^t+{a_{nn}}I_{n \times n}\\ \end{bmatrix}$$ .
Creo que estas son las matrices derivadas. ¡¡Gracias por la ayuda!!
