Dividir a 10 alumnos en tres grupos

Question

Hay 10 estudiantes. Halla el número de formas en que se pueden dividir en 3 grupos de manera que cada grupo tenga al menos 1 estudiante y el tercer grupo tenga como máximo 3

Podemos hacer 3 casos distintos en los que $G_3$ tiene $1$ , $2$ , $3$ estudiantes, respectivamente.

En cuanto a los dos grupos restantes, no hay más restricciones que la de que ningún grupo puede tener $0$ estudiantes.

Pero no estoy seguro de cómo dividir a los estudiantes restantes en $2$ grupos. Está claro que el método de las estrellas y las barras no funciona porque los alumnos no son objetos idénticos.

Answer 1

Tomemos el caso de que $G_3$ tiene un estudiante. Escoge al estudiante de ahí y te quedan nueve. Ahora, $G_1$ (decir) puede tener $1$ a $8$ estudiantes. Elige a los estudiantes para $G_1$ y luego todos los demás están en $G_2$ .

Así que para este caso obtendrá

$$10\cdot \sum_{j=1}^8 {9 \choose j}$$

grupos. Y de forma similar para los otros casos para $G_3$ .

Answer 2

Puedes imaginarte esto como etiquetar a los estudiantes con los números de los grupos $\{1,2,3\}$ .

Así que, básicamente, usted está buscando todo $10$ -números con dígitos $\{1,2,3\}$ donde hay al menos un $1$ , una $2$ y de uno a tres $3$ 's.

Ahora, dividiendo en los casos en que exactamente $1,2,3$ obtener la etiqueta $3$ , se obtiene

• exactamente $1$ con etiqueta $3$ : $\color{blue}{\binom{10}1\cdot (2^9-2)}$
• exactamente $2$ con etiqueta $3$ : $\color{blue}{\binom{10}2\cdot (2^8-2)}$
• exactamente $3$ con etiqueta $3$ : $\color{blue}{\binom{10}3\cdot (2^7-2)}$

Sumando esto da:

$$\color{blue}{31650}$$