Extensión de la identidad de Hall-Witt

Question

Aunque esta pregunta es más que nada por curiosidad (por ahora), espero que no obstante sea adecuada para MO.

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Este muy reciente (y todavía abierto) pregunta sobre el Identidad de Hall-Witt me llevó a preguntarme:

1. ¿Existe alguna generalización relacionada con 4 o más variables?

Y también,

2. ¿Implica eso entonces una identidad tipo Jacobi de 4 variables (o más)?

Answer 1

Hay un sentido en el que no hay más identidades. Me explico.

En la sección 5.2.3 de mi artículo "An infinite presentation of the Torelli group" (disponible en mi página web), construyo una especie de presentación del subgrupo conmutador de un grupo libre en la que las relaciones son relaciones como las de Witt-Hall. En realidad me interesaba el subgrupo conmutador como subgrupo del grupo fundamental de una superficie, así que mis generadores son todos de la forma $[x,y$ ] donde $x$ y $y$ son curvas cerradas simples que sólo se cruzan en el punto base. Sin embargo, estoy bastante seguro de que se podría adaptar la prueba allí para demostrar lo siguiente.

Fijar un grupo libre no abeliano $F$ . Sea $S$ sea el conjunto de todos los elementos de la forma $[x,y]$ , donde $x$ y $y$ forman parte de una base (cualquier base) para $F$ . Observe que $S$ es infinito. Sea $R$ sea el conjunto de todas las relaciones de las siguientes formas. Para ahorrar notación, denotaremos por $[x,y]^w$ el elemento $[w^{-1}xw,w^{-1}yw] \in S$ , donde $[x,y] \in S$ y $w \in F$ es arbitraria.

1. $[x,y]=[y,x]^{-1}$ si $[x,y] \in S$ .

2. $[x,y]=[z,w]$ si $[x,y] \in S$ y $[z,w] \in S$ resulta que ya son iguales en $F$ (por ejemplo, $[yx,y] = [x,y]$ ).

3. $[z,w]^{-1} [x,y] [z,w] = [x,y]^{[z,w]}$ si $[x,y] \in S$ y $[z,w] \in S$ .

4. $[xz,y] = [x,y]^z [z,y]$ si $x$ y $y$ y $z$ forman parte de una base (cualquier base) para $F$ .

5. $[x,y]^z = [z,x] [z,y]^x [x,y] [x,z]^y [y,z]$ si $x$ y $y$ y $z$ forman parte de una base (cualquier base) para $F.

Esta 5ª relación es una variante de la identidad de Jacobi habitual (puesta en una forma útil para esta presentación). La conclusión es entonces que $[F,F]$ tiene la presentación con generadores $S$ y las relaciones $R$ .

La cuestión de todo esto es que no hay otras identidades de conmutador "más profundas" que no sean consecuencias de las que conoces.

Answer 2

El siguiente artículo puede responder a su pregunta:

https://www.researchgate.net/publication/319957676_A_generalization_of_the_Hall-Witt_identity