Cómo puedo utilizar la regla de L'Hopitals para encontrar todos los valores de K y M tales que $\lim_{x \to 0}\left (K + \dfrac{\cos(mx)}{x^2}\right) = -4$

Question

Utilice la regla de L'Hopitals para encontrar todos los valores de $K$ y $m$ tal que $$\lim_{x \to 0} \dfrac{K+\cos(mx)}{x^2} = -4$$

No tengo ni idea de cómo resolver esto, por favor, ayuda.

Answer 1

Pista: 1) ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplirse para que podamos aplicar L'Hopital? Más concretamente, sabemos a qué converge el denominador, así que ¿a qué tiene que converger el numerador? Entonces sabemos qué $\cos(mx)$ converge a, entonces cuál es la posibilidad (única) para el valor de $K$ ?

2) Si aplica L'Hopital dos veces, obtendrá una expresión para $m$ o más bien para $m^2$ . ¿Cuáles son las soluciones?

Answer 2

Como $$\cos(mx)=1-\frac{m^2x^2}{2} + \frac{m^4x^4}{4!}\mp \dots$$ el límite sólo puede existir cuando $K=-1$ .

Entonces tenemos $$\lim_{x\to 0} -\frac{m^2}{2} + \frac{m^4 x^2}{4!} \mp \dots=-\frac{m^2}{2}=-4$$

Answer 3

$K$ debe ser $-1$ para aplicar la norma. Diferenciar para obtener $\lim \frac{-\sin(mx)m}{2x}= \lim\frac{-1}{2}\frac{\sin(mx)m^2}{mx}$ Así que $\frac{-m^2}{2} = -4$