Si Zacarías lanza un dado justo cinco veces, ¿cuál es la probabilidad de que la suma de sus cinco tiradas sea 20?
La primera vez que lo hice:
Patrones de 5 que pueden darnos 20
66611, 66521, 65531, 65522, 64442, 64433, 64415,
¿A dónde vamos a partir de aquí?
Suponiendo que conozcas las funciones de generación.
Nos interesa el coeficiente de $x^{20}$ en la expansión $(x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^5$ .
Esto equivale al coeficiente de $x^{15}$ en la expansión $\left( \frac{1- x^6}{1-x} \right)^5 $
El numerador se evalúa fácilmente como
$$ 1- - 5 x^{6} + 10 x^{12} - 10x^{18} + 5 x^{24} - x^{30} $$
El denominador es
$$ \sum x^i {i+4 \choose 4} $$
Por lo tanto, la respuesta es
$$ 10 \times {7 \choose 4} - 5 \times {13 \choose 4} + 1 \times {19 \choose 4} $$
Si no va a utilizar funciones generadoras, utilice la recursividad y una hoja de cálculo como la siguiente , donde el número de formas de obtener una puntuación de $s$ con $d$ dados es la suma de las formas de obtener una puntuación de $s-1,s-2,s-3,s-4$ o $s-5$ con $d-1$ dados (empezando por que hay $1$ manera de obtener una puntuación de $0$ con $0$ dados).
Dice 0 1 2 3 4 5
---------------------------
Score
0 1 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
2 0 1 1 0 0 0
3 0 1 2 1 0 0
4 0 1 3 3 1 0
5 0 1 4 6 4 1
6 0 1 5 10 10 5
7 0 0 6 15 20 15
8 0 0 5 21 35 35
9 0 0 4 25 56 70
10 0 0 3 27 80 126
11 0 0 2 27 104 205
12 0 0 1 25 125 305
13 0 0 0 21 140 420
14 0 0 0 15 146 540
15 0 0 0 10 140 651
16 0 0 0 6 125 735
17 0 0 0 3 104 780
18 0 0 0 1 80 780
19 0 0 0 0 56 735
20 0 0 0 0 35 651
21 0 0 0 0 20 540
22 0 0 0 0 10 420
23 0 0 0 0 4 305
24 0 0 0 0 1 205
25 0 0 0 0 0 126
26 0 0 0 0 0 70
27 0 0 0 0 0 35
28 0 0 0 0 0 15
29 0 0 0 0 0 5
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