¿Cómo encontrar el ángulo del arco dada la longitud del arco y la sagita?

Question

Dada la longitud de un arco y la longitud de la sagita, ¿puedes calcular el ángulo (radianes)?

Me cuesta mucho calcular todos los parámetros que necesito. Por ejemplo, para calcular el radio necesito la longitud de la sagita y la longitud de la cuerda (pero no la tengo - para obtenerla necesito el radio...)

¿Tengo muy pocos parámetros para obtener una respuesta única para esto?

Answer 1

Dejemos que $s$ sea la longitud del sagitario, $a$ la longitud del arco, $r$ el radio, y $\theta$ el ángulo central. Se nos da $a$ y $s$ . Sabemos que $a=r\theta$ y $ s = r-r\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)$ para que $$ \frac{a}{s}=\frac{\theta}{1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$ Un rápido parcela%20for%20x%20from%200%20to%20pi%20&t=crmtb01) de $f(\theta)= \theta/(1-\cos(\theta/2))$ indica que $f$ es uno a uno en $(0,\pi)$ así que sí, $s$ y $a$ determinar el ángulo. No creo que haya una fórmula simple de forma cerrada para $\theta,$ sin embargo. Probablemente haya que calcularlo numéricamente.

EDITAR

A petición del OP, añado algunos comentarios sobre cómo calcular esto numéricamente. En primer lugar, creo que es un poco más conveniente considerar el recíproco de la expresión que tenía antes. $$ \frac{s}{a}=\frac{1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\theta}$$ Dejemos que $x=s/a,$ por lo que queremos resolver $$f(\theta)=x\theta + \cos\left(\frac{\theta}{2}\right)-1=0$$ para $\theta,$ con $x$ dado. El método secante es probablemente una buena manera de hacerlo. Necesita un par de valores iniciales para $\theta_0$ y $\theta_1$ y puede utilizar $1$ y $2$ Debería pensar que

Hazme saber si esto no te funciona bien.

Answer 2

A partir de la respuesta de saulspatz, es seguro que, utilizando una buena estimación, el método de Newton convergería en muy pocas iteraciones siempre que se adivine bien la raíz.

Lo primero que pensé fue en poner $\theta=2t$ , $k=\frac{s}{a}$ y utilizar la aproximación bastante buena $$\cos(t) \simeq\frac{\pi ^2-4t^2}{\pi ^2+t^2}\qquad (-\frac \pi 2 \leq t\leq\frac \pi 2)$$ Esto lleva a $$t(2 k t^2+2 \pi ^2 k-5 t)=0 \implies \theta_{est}=\frac{5-\sqrt{25-16 \pi ^2 k^2}}{2 k}$$ Para comprobarlo, da $\theta$ un valor, calcular $k$ y calcular $ \theta_{est}$ . La siguiente tabla muestra algunos resultados $$\left( \begin{array}{ccc} \theta & k & \theta_{est} \\ 0.1 & 0.0124973961 & 0.0987 \\ 0.2 & 0.0249791736 & 0.1974 \\ 0.3 & 0.0374297402 & 0.2962\\ 0.4 & 0.0498335554 & 0.3950 \\ 0.5 & 0.0621751566 & 0.4939 \\ 0.6 & 0.0744391848 & 0.5930 \\ 0.7 & 0.0866104102 & 0.6921 \\ 0.8 & 0.0986737575 & 0.7915 \\ 0.9 & 0.1106143307 & 0.8909 \\ 1.0 & 0.1224174381 & 0.9906 \\ 1.1 & 0.1340686163 & 1.0904 \\ 1.2 & 0.1455536542 & 1.1905 \\ 1.3 & 0.1568586165 & 1.2908 \\ 1.4 & 0.1679698662 & 1.3913 \\ 1.5 & 0.1788740874 & 1.4920 \end{array} \right)$$ y, a partir de la estimación $\theta_{0}=\theta_{est}$ , los iterados de Newton $$\theta_{n+1}=\frac{\theta_n \sin \left(\frac{\theta_n }{2}\right)+2 \cos \left(\frac{\theta_n }{2}\right)-2}{\sin \left(\frac{\theta_n }{2}\right)-2 k}$$ convergería en muy pocas iteraciones.

Mi siguiente idea fue desarrollar $\frac{1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\theta}$ como la serie Taylor construida en $\theta=0$ dando $$\frac{1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\theta}=\frac{\theta }{8}-\frac{\theta ^3}{384}+\frac{\theta ^5}{46080}-\frac{\theta ^7}{10321920}+\frac{\theta ^9}{3715891200}-\frac{\theta ^{11}}{1961990553600}+O\left(\theta ^{13}\right)$$ y utilizar la reversión de la serie para obtener $$\theta=8 k+\frac{32 k^3}{3}+\frac{1664 k^5}{45}+\frac{159232 k^7}{945}+\frac{4139008 k^9}{4725}+\frac{21929984 k^{11}}{4455}+O\left(k^{13}\right)$$ que podría transformarse en una aproximación de Padé como $$\theta_{est}=k\,\frac{8 -\frac{13184 }{279}k^2+\frac{200192 }{5859}k^4 } {1-\frac{2020 }{279}k^2+\frac{272512 }{29295}k^4 }$$ Haciendo lo mismo que antes, deberíamos obtener $$\left( \begin{array}{ccc} \theta & k & \theta_{est} \\ 0.1 & 0.0124973961 & 0.100000000000 \\ 0.2 & 0.0249791736 & 0.200000000000 \\ 0.3 & 0.0374297402 & 0.300000000000 \\ 0.4 & 0.0498335554 & 0.399999999999 \\ 0.5 & 0.0621751566 & 0.499999999991 \\ 0.6 & 0.0744391848 & 0.599999999936 \\ 0.7 & 0.0866104102 & 0.699999999650 \\ 0.8 & 0.0986737575 & 0.799999998468 \\ 0.9 & 0.1106143307 & 0.899999994352 \\ 1.0 & 0.1224174381 & 0.999999981810 \\ 1.1 & 0.1340686163 & 1.099999947499 \\ 1.2 & 0.1455536542 & 1.199999861547 \\ 1.3 & 0.1568586165 & 1.299999661478 \\ 1.4 & 0.1679698662 & 1.399999223847 \\ 1.5 & 0.1788740874 & 1.499998316221 \end{array} \right)$$ que parece ser bastante bueno.

Utilizando la misma forma, intenté optimizar los coeficientes para un mejor ajuste en el rango de wole. Lo que obtuve es $$\theta_{est}=k\,\frac{8-\frac{100815 }{2003}k^2+\frac{26153}{635} k^4}{ 1-\frac{5467 }{717}k^2+\frac{5955}{557}k^4}$$ Reproducción de la misma tabla $$\left( \begin{array}{ccc} \theta & k & \theta_{est} \\ 0.1 & 0.0124973961 & 0.0999999999 \\ 0.2 & 0.0249791736 & 0.1999999991 \\ 0.3 & 0.0374297402 & 0.2999999973 \\ 0.4 & 0.0498335554 & 0.3999999947 \\ 0.5 & 0.0621751566 & 0.4999999918 \\ 0.6 & 0.0744391848 & 0.5999999895 \\ 0.7 & 0.0866104102 & 0.6999999885 \\ 0.8 & 0.0986737575 & 0.7999999886 \\ 0.9 & 0.1106143307 & 0.8999999893 \\ 1.0 & 0.1224174381 & 0.9999999891 \\ 1.1 & 0.1340686163 & 1.0999999871 \\ 1.2 & 0.1455536542 & 1.1999999836 \\ 1.3 & 0.1568586165 & 1.2999999814 \\ 1.4 & 0.1679698662 & 1.3999999835 \\ 1.5 & 0.1788740874 & 1.4999999861 \end{array} \right)$$

Actualización

Para cubrir toda la gama $(0\leq \theta \leq \pi)$ y para obtener soluciones al precio de sólo una ecuación cuadrática, podemos adivinar la aproximación $$\frac{1-\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}{\theta}=\frac{a\theta+b \theta^2 } {1+c\theta+d \theta^2 }$$ y calcular los coeficientes $a,b,c,d$ para tener una coincidencia perfecta en los puntos $\frac \pi 4,\frac \pi 2,\frac {3\pi} 4,\pi$ . Esto da los valores desagradables $$a=\frac{52-71 \sqrt{2}+6 \sqrt{10642-7001 \sqrt{2}}}{93 \pi ^2}$$ $$b=\frac{4 \left(26+11 \sqrt{2}-6 \sqrt{754-487 \sqrt{2}}\right)}{93 \pi ^3}$$ $$c=\frac{-325+33 \sqrt{2}+6 \sqrt{2074-167 \sqrt{2}}}{93 \pi }$$ $$d=-\frac{2 \left(-194+30 \sqrt{2}+3 \sqrt{2756-322 \sqrt{2}}\right)}{93 \pi ^2}$$ y la solución retenida de la cuadrática en $\theta$ viene dada por $$ \theta_{est}=\frac{\sqrt{(a-c k)^2+4 k (b-d k)}-a+c k}{2 (b-d k)}$$ $$\left( \begin{array}{ccc} \theta & k & \theta_{est} \\ 0.0 & 0.000000 & 0.00000 \\ 0.1 & 0.012497 & 0.09987 \\ 0.2 & 0.024979 & 0.19981 \\ 0.3 & 0.037430 & 0.29980 \\ 0.4 & 0.049834 & 0.39982 \\ 0.5 & 0.062175 & 0.49986 \\ 0.6 & 0.074439 & 0.59991 \\ 0.7 & 0.086610 & 0.69996 \\ 0.8 & 0.098674 & 0.80001 \\ 0.9 & 0.110614 & 0.90005 \\ 1.0 & 0.122417 & 1.00007 \\ 1.1 & 0.134069 & 1.10009 \\ 1.2 & 0.145554 & 1.20009 \\ 1.3 & 0.156859 & 1.30007 \\ 1.4 & 0.167970 & 1.40005 \\ 1.5 & 0.178874 & 1.50002 \\ 1.6 & 0.189558 & 1.59999 \\ 1.7 & 0.200010 & 1.69996 \\ 1.8 & 0.210217 & 1.79993 \\ 1.9 & 0.220167 & 1.89991 \\ 2.0 & 0.229849 & 1.99990 \\ 2.1 & 0.239252 & 2.09990 \\ 2.2 & 0.248365 & 2.19993 \\ 2.3 & 0.257179 & 2.29997 \\ 2.4 & 0.265684 & 2.40003 \\ 2.5 & 0.273871 & 2.50010 \\ 2.6 & 0.281731 & 2.60018 \\ 2.7 & 0.289257 & 2.70026 \\ 2.8 & 0.296440 & 2.80032 \\ 2.9 & 0.303275 & 2.90034 \\ 3.0 & 0.309754 & 3.00028 \\ 3.1 & 0.315873 & 3.10012 \end{array} \right)$$