Una simple pregunta sobre LCM

Question

Esta es la pregunta que estaba tratando de manejar :

El mcm de dos números es 48. Los números están en proporción 2 : 3. La suma de los números es ?

Mi intento :

Factores primos de 48 : $2^4 * 3^1$ . Deja que los números sean : $2x$ y $3x$ . Podría haberlo resuelto de manera fácil utilizando una fórmula simple usando $ HCF * LCM = Num1 * Num2 $ Pero yo quería ir al revés.

Mi análisis: como LCM contiene $3^1$ Debe provenir de o bien número . desde el segundo número $3x$ contiene $3$ es la participación de la $3$ en LCM . Entonces es obvio $2^4$ viene de otro número que es $2x$ Por lo tanto $x= 8$ . ¿es correcta mi respuesta?

Gracias

Answer 1

Que los números sean $2x,3x\implies $ GCD $=x$

Como usted ha identificado correctamente, el LCM es $\frac{\text{ Product}}{\text{ GCD }}=6x\implies 6x=48\implies x=8$

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Alternativamente,

que los números sean $2^a3^b,2^c3^d$ donde $a,b,c,d$ son enteros no negativos.

Así que, $$\frac{2^a3^b}{2^c3^d}=\frac23\implies 2^a3^{b+1}=2^{c+1}3^d\implies a=c+1,d=b+1$$

lcm $(2^a3^b,2^c3^d)=$ lcm $(2^{c+1}3^b,2^c3^{b+1})=2^{c+1}3^{b+1}$ que es igual a $48=2^43$

$\implies c+1=4,b+1=1$

Answer 2

Sugerencia $\rm\,\ 48 = lcm(2n,3n) = lcm(2,3)\,n = 6n\iff n=8,\:$ por la ley distributiva para lcm.

A continuación se muestra una prueba de la ley distributiva $\rm\ lcm(ab,ac)\, =\, a\, lcm(b,c)$

$$\rm lcm(ab,ac)\mid n\iff ab,ac\mid n \iff b,c\mid n/a \iff lcm(b,c)\mid n/a \iff a\,lcm(b,c)\mid n$$

Answer 3

Ya que, el lcm de 2:3 es 48 por lo tanto el lcm de 2x y 3x es 6x 6x=48 x=8 2x=2*8=16 3x=3*8=24 la suma de no es 16+24=40