Probabilidad condicional con pruebas de unión

Question

En el problema del cáncer (C) y las pruebas (t1, t2), o cualquier otro ejemplo,

Cómo puedo calcular: $P(C^+|(t1^+ \text{ or } t2^+)$ Creo que esto sería lo mismo que encontrar: $$P(t1^+ \text{ or } t2^+|C^+) P(C^+)\over P(t1^+ \text{ or } t2^+).$$

Pero es $$P(t1^+ \text{ or } t2^+|C^+) = P(t1^+|C^+)+P(t2^+|C^+)-P(t1^+ \text{ and } t2^+|C^+)?$$

Por otro lado, ¿es cierto en otros problemas que $$P(t2^+|t1^+) ={ P(t1^+ \text{ and } t2^+)\over P(t1^+)}?$$

Gracias.

Answer 1

La respuesta a tu tercera (última) pregunta es "sí"; se trata de la definición de probabilidad condicional. (Respondo a esto primero, ya que se utiliza más tarde, aquí).

Tu instinto inicial es correcto. Para dos eventos cualesquiera $A$ y $C$ : $$ P(A|C)={P(C\cap A)\over P(C)}={P(A\cap C)\over P(C)}={P(A)P(C| A)\over P(C)}. $$

La respuesta a su segunda pregunta es "sí": $$\eqalign{P(t1^+\cup t2^+|C^+)&={P(( t1^+\cup t2^+)\cap C+)\over P(C^+)}\cr & ={P( ( t1^+\cap C^+)\cup (t2^+\cap C^+))\over P(C^+)}\cr &={P( t1^+\cap C^+)+P (t2^+\cap C^+)- P (t2^+\cap t1^+\cap C^+) \over P(C^+) }\cr &={P( t1^+\cap C^+) \over P(C^+) } +{P (t2^+\cap C^+) \over P(C^+) } -{ P (t2^+\cap t1^+\cap C^+) \over P(C^+) }\cr &={P( t1^+| C^+)+P (t2^+| C^+)- P (t2^+\cap t1^+| C^+) . } }$$