¿Puede alguien darme una explicación sencilla de por qué funciona esto (y cómo se llama)?
$$\lim_{x \to 0^+}(e^{\sin x\, \cdot\, \ln x}) = e^{\lim_{x \to 0^+}(\sin x\, \cdot\, \ln x)}$$
No puedo encontrar una explicación en ningún sitio en línea...
Respuesta
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paulinho
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Aquí la función $e^x$ es una función continua sobre el rango de $\ln x \cdot \sin x$ (que es simplemente $\mathbb{R}$ ). Por definición de continuidad, sabemos que como $x \to k$ , $e^x \to e^k$ . Así que, en particular, como $\ln x \cdot \sin x \to L = \lim_{x \to 0^+} \ln x \cdot \sin x$ (suponiendo que este límite existiera), tendría que seguirse que $e^{\ln x \cdot \sin x} \to e^L$ .
Es importante señalar que, en general, cuando se evalúa el límite de $f(g(x))$ como $x \to k$ , necesitas $f(x)$ sea continua en el rango de $g(x)$ o, al menos, en las proximidades de $L = \lim_{x \to k} g(x)$ (de nuevo, suponiendo que existiera) para concluir que $f(L) = \lim_{x \to k} f(g(x))$ . No basta con tener $f$ continua en una región alrededor de $k$ . Por ejemplo, si en lugar de eso el problema fuera evaluar $\lim_{x \to 2} f(\sin(x))$ donde $f(x)$ era continua en $2$ pero no alrededor de $\sin(2)$ no se puede concluir que $$f\left(\lim_{x \to 2} \sin x\right) = \lim_{x \to 2} f(\sin x)$$
