Me cuesta ver cómo la notación límite resuelve el problema de la velocidad instantánea. Porque la notación de límites, en el mejor de los casos, da la velocidad en un marco temporal infinitamente cercano a 0, básicamente la velocidad en un periodo de tiempo infinitamente pequeño. Pero no puede dar la velocidad en un punto específico, porque eso llevaría a un denominador de 0 y a una respuesta indefinida. Entonces, ¿cómo resuelve la notación límite el problema de la velocidad instantánea?
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CodingBytes
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Una cinta transportadora tiene una velocidad constante que se puede medir fácilmente con una cinta métrica y un cronómetro.
Por otro lado, a nivel intuitivo, la velocidad de un coche que acelera seguramente aumenta con el tiempo y en un intervalo de tiempo no pequeño es constante. Si tomamos una foto de este coche, tenemos un registro preciso de su ubicación en el entorno en el momento de hacer el clic, pero ninguna idea de su velocidad. Puede que el coche ni siquiera estuviera en marcha.
Ahora podríamos dibujar (o hacer dibujar automáticamente) una longitud $s(t)$ frente al tiempo $t$ gráfico del movimiento de este coche. Veríamos entonces una curva convexa parecida a una parábola. Para un coche de velocidad constante la curva sería una línea recta, y la pendiente de esta línea codifica la velocidad de este coche. Desde un punto de vista intuitivo, es natural llamar a la pendiente de la tangente a la parábola en un punto dado $\bigl(t,s(t)\bigr)$ el velocidad momentánea del coche en ese momento. Esta sería una definición precalculada aceptable.
Pero usted es un estudiante ahora; y ha aprendido que hay un concepto matemático exacto que cubre esta idea, a saber, el límite $$v(t):=\lim_{\Delta t\to0}{s(t+\Delta t)-s(t)\over\Delta t}\ .$$ Este es un definición y sustituye a la palabrería anterior sobre "periodos de tiempo infinitesimales".
Neall
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Su objeción se aplica de forma más general a la definición de una línea tangente como límite. ¿Dudas de que una curva suave como una circunferencia o una parábola deba tener una línea tangente en cada punto? Mientras que tú te centras en el denominador en el punto que es $0$ , se ignora que el numerador es también $0$ y que es crucial .
Por ejemplo, considere $f(x) = (\sqrt{x+1}-1)/x$ . En $x=0$ el numerador y el denominador son ambos $0$ y la relación en $x=0$ no tiene sentido. Sin embargo, hay una forma sensata tendencia en los valores si se mira $f(x)$ para $x$ cerca pero no igual a $0$ Por ejemplo, $f(.001) =\approx .49987$ y $f(-.001) \approx .50012$ . Podemos reescribir $f(x)$ para $x \not= 0$ para explicar esto: $$ \frac{\sqrt{x+1}-1}{x} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+1} $$ y para $x$ cerca de $0$ el lado derecho se acerca a $1/(1+1) = 1/2$ .
Formalizamos la tendencia de los valores alrededor de un punto en lugar de un valor en el punto (que podría no tener sentido) hablando del límite en ese punto. Los límites nos llevan más allá de la idea de sustitución directa como en el álgebra, y abordar la transición del cálculo por sustitución (álgebra) al cálculo por límites (cálculo) es una fuente común de dificultad por parte de los estudiantes, pero toda la maquinaria del cálculo y las aplicaciones basadas en el cálculo (en física, ingeniería, etc.) se basa en esta idea de límite. Los creadores del cálculo diferencial (Newton y Leibniz, y Fermat antes que ellos) no hablaban en términos de límites y se encontraron con críticas algo parecidas a las que tú planteas (pensar en términos de sustitución, como el álgebra). Los fundamentos del cálculo tardaron mucho tiempo en hacerse sólidos.
Cada vez que se encuentra un ratio con un valor límite significativo y el denominador tiende a $0$ El El numerador tiende a $0$ también . Sólo porque un constante no nula dividido por algo que tiende a $0$ será muy grande (en valor absoluto) no significa una relación de dos expresiones que ambos tienden a $0$ no puede tener un límite finito razonable.
Por cierto, la premisa de su pregunta es errónea: notación no es resolver un problema, sino una idea es resolver un problema, es decir, la idea de límite nos permite dar sentido a lo que, puramente algebraico, parece algo sin sentido. Esto ocurre en todas las matemáticas. Si te niegas a expandir tu mente para aceptar que las nuevas ideas pueden permitirnos hablar de cosas que al principio parecen "sin sentido" en tu mentalidad original más estrecha, entonces no llegarás muy lejos. Por ejemplo, nunca entenderás cómo podemos explorar y trabajar en espacios de dimensión superior a $3$ o incluso en espacios de dimensión infinita, si te obstinas en afirmar que tales conceptos carecen de sentido porque no tienen sentido intuitivo directo debido a la falta de imágenes en dimensiones superiores.
Kyle Miller
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Puede ser engañoso pensar en el concepto de límite de forma operativa. No se realmente "tomar un límite", como se oye decir. La notación $\lim_{h\to 0}g(h)=c$ representa una promesa de que no importa lo cerca que quieras $g(h)$ para ser a $c$ siempre hay un intervalo (posiblemente muy pequeño) de valores para $h$ alrededor de $0$ para lograr esta cercanía (posiblemente excluyendo $h=0$ ).
Si es capaz de escribir $\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=r$ para algunos $x$ y algunos $r$ es decir, una promesa de que no importa lo cerca que se quiera la pendiente de una línea secante de $(x,f(x))$ para ser a $r$ hay un intervalo (posiblemente muy pequeño) de valores para $h$ alrededor de $0$ para conseguir esas pendientes.
Es decir, la derivada $f'(x)=r$ es una pendiente que puede ser bien aproximada en un grado arbitrariamente bueno por las pendientes de las líneas secantes. Nuestra intuición es que ésta es la pendiente a la que "convergen" las rectas secantes.
Como matemáticos y físicos hemos decidido que ésta es la definición de velocidad instantánea. La pendiente de una recta secante corresponde a la estimación de la velocidad que se obtiene midiendo el tiempo y la distancia en dos puntos del tiempo. Una velocidad instantánea es una promesa que midiendo con cada vez menor $\Delta t$ Sus estimaciones se acercarían cada vez más a esta supuesta velocidad "instantánea". Como este es un sitio de matemáticas, tendré que dejar a los filósofos sobre la realidad de la velocidad instantánea más allá de esto.
Los límites también resuelven el problema de la posición. He oído llamar ley zeroth de Newton a que las posiciones de las partículas siguen trayectorias continuas. Una función es continua si $\lim_{x\to c}f(x)=f(c)$ para todos $c$ . Esto significa que $f(x)$ se puede hacer para estar tan cerca como se quiera $f(c)$ siempre y cuando $x$ es algo lo suficientemente cercano a $c$ . Así, para la física newtoniana, la posición de una partícula en un momento determinado puede fijarse con una precisión arbitraria con mediciones de tiempo suficientemente sensibles.
Yo entiendo que la continuidad resuelve la paradoja de la pista de carreras de Zenón (que un corredor no puede llegar al final de la pista, porque siempre quedará la mitad), y la velocidad instantánea resuelve la paradoja de la flecha de Zenón (que una flecha no puede estar en movimiento porque si la miras en un instante, no puedes distinguirla de una flecha que no está en movimiento). Para el hipódromo, dado que los tiempos en los que el corredor alcanza las medias marcas tienen un límite, por continuidad de posición se obtiene que la posición del corredor en ese límite es el límite de las posiciones en esos tiempos, que es el final del hipódromo. En el caso de la flecha, la velocidad instantánea se define de forma que depende del comportamiento de la flecha durante todo un intervalo de tiempo (pequeño). (Es decir, se resuelve diciendo "lo que sea -- podemos eludir la cuestión de si la velocidad es una propiedad de un momento particular, definiéndola en cambio de una manera que depende de un continuo de momentos. Y, si resulta que la velocidad instantánea es físicamente real, nuestra definición debe ser probadamente equivalente").
Advertencia: filosofía al límite.
A veces se dice que la velocidad en un momento determinado no tiene sentido. Es tan poco significativo como hablar de la posición de una partícula en un punto concreto del tiempo. O incluso un punto concreto en el tiempo. Esto se reduce a la cuestión de lo que es un número real, y lo que los matemáticos han acordado es, a grandes rasgos, que un número real es algo que puede ser aproximado por números racionales. Los números racionales representan lo que realmente podemos medir. Un punto en el tiempo es algo así como la idea de que si pudiéramos tener relojes cada vez más precisos, podríamos especificar puntos en el tiempo con una precisión cada vez mayor. Algo parecido ocurre con los puntos en el espacio y las reglas cada vez más precisas. Hay algunas pruebas físicas de que ninguno de estos supuestos es válido (tiempo y longitud de Planck), pero los números reales en el peor de los casos son una ficción útil. La velocidad instantánea es algo así como la idea de que si utilizamos relojes extremadamente precisos y reglas extremadamente precisas, en escalas de tiempo suficientemente pequeñas las trayectorias parecen cada vez más indistinguibles de las trayectorias de velocidad constante.
En definitiva, los límites dan sentido a la frase "arbitrariamente/infinitamente cerca de $0$ Si no tiene una definición precisa, ¿qué quiere decir con eso?
En matemáticas, las cosas adquieren significado en función de lo que se puede hacer con ellas. Utilizamos definiciones precisas porque se puede hacer más con ellas. Es decir, tienen más sentido. Si el concepto de límite se pudiera matar tan fácilmente diciendo "pero como $h$ se acerca infinitamente a $0$ el denominador es $0$ por lo que la recta secante no tendría una pendiente definida", entonces tendríamos una mala definición de límite, y tendríamos que encontrar una mejor, si pudiéramos (y lo hemos hecho).
