Permítanme intentar ofrecer un esbozo de la respuesta general. En primer lugar, suponiendo que G,G′G,G′ son dos grupos abelianos de torsión se sabe que se descomponen como sumas directas de sus pp -componentes primarios . Desde los productos tensoriales satisfacen una propiedad general de distributividad con respecto a las sumas directas para demostrar su afirmación general es así basta con demostrarlo en el caso especial de que G,G′G,G′ son ambos primarios.
Por lo tanto, su reclamación se reduce al caso particular cuando GG es pp -primario y G′G′ es qq -primario para dos primos p,qp,q . Entonces, por el teorema de Kulikov se puede inferir la existencia de grupos abelianos H,K,D,D′H,K,D,D′ tal que:
- existen secuencias {0}→H→G→D→{0} {0}→H′→G′→D′→{0} que son puro y exacto
- H,H′ son sumas directas de grupos cíclicos (y por tanto son grupos de torsión)
- D,D′ son grupos divisibles (y como son cocientes de G y respectivamente G′ además son grupos de torsión también).
Al tensar la secuencia pura (1) con G′ se obtiene una nueva secuencia corta exacta
{0}→H⊗ZG′→G⊗ZG′→D⊗ZG′→{0}
Teniendo en cuenta que el producto tensorial entre un grupo divisible y un grupo de torsión es nulo de la secuencia (3) se puede deducir que H⊗ZG′≈G⊗ZG′ . Para analizar este producto tensorial ahora tensorizamos la secuencia exacta pura (2) con H , obteniendo:
{0}→H⊗ZH′→H⊗ZG′→H⊗ZD′→{0}
Por el mismo motivo que el anterior, H⊗ZD′ se desvanece llevándote a la conclusión de que H⊗ZH′≈H⊗ZG′≈G⊗ZG′
En virtud de la distributividad universal del producto tensorial con respecto a las sumas directas, H⊗ZH′ puede desarrollarse en la suma directa de productos tensoriales de pares de grupos cíclicos, y es bien sabido que estos últimos objetos son a su vez grupos cíclicos (en general se tiene Zm⊗ZZn≈Z(m,n) para cualquier m,n∈N ). De ahí su afirmación.
