Aplicación del teorema de Kulikov

Question

Sigo el libro de texto de Rotman "Introducción al álgebra homológica". Este es el ejercicio 3.43 del libro.

Recordemos el teorema de Kulikov: si $G$ es un $p$ -grupo abeliano primario, entonces existe una secuencia exacta pura $0\rightarrow B\rightarrow G\rightarrow D\rightarrow 0$ con $B$ una suma directa de grupos cíclicos y $D$ divisible.

Utilizando este teorema, quiero demostrar que si $H$ y $K$ son grupos abelianos de torsión, demuestre que $H\otimes_{\mathbb{Z}}K$ es una suma directa de grupos cíclicos.

Sin embargo, no sé cómo utilizar este teorema.

Answer 1

Permítanme intentar ofrecer un esbozo de la respuesta general. En primer lugar, suponiendo que $G, G'$ son dos grupos abelianos de torsión se sabe que se descomponen como sumas directas de sus $p$ -componentes primarios . Desde los productos tensoriales satisfacen una propiedad general de distributividad con respecto a las sumas directas para demostrar su afirmación general es así basta con demostrarlo en el caso especial de que $G, G'$ son ambos primarios.

Por lo tanto, su reclamación se reduce al caso particular cuando $G$ es $p$ -primario y $G'$ es $q$ -primario para dos primos $p, q$ . Entonces, por el teorema de Kulikov se puede inferir la existencia de grupos abelianos $H, K, D, D'$ tal que:

• existen secuencias $$\{0\} \to H \to G \to D \to \{0\} \tag{1}$$ $$\{0\} \to H' \to G' \to D' \to \{0\} \tag{2}$$ que son puro y exacto
• $H, H'$ son sumas directas de grupos cíclicos (y por tanto son grupos de torsión)
• $D, D'$ son grupos divisibles (y como son cocientes de $G$ y respectivamente $G'$ además son grupos de torsión también).

Al tensar la secuencia pura (1) con $G'$ se obtiene una nueva secuencia corta exacta

$$ \{0\} \to H \otimes_{\mathbb{Z}} G' \to G \otimes_{\mathbb{Z}} G' \to D \otimes_{\mathbb{Z}} G' \to \{0\} \tag{3}$$

Teniendo en cuenta que el producto tensorial entre un grupo divisible y un grupo de torsión es nulo de la secuencia (3) se puede deducir que $H \otimes_{\mathbb{Z}} G' \approx G \otimes_{\mathbb{Z}} G'$ . Para analizar este producto tensorial ahora tensorizamos la secuencia exacta pura (2) con $H$ , obteniendo:

$$\{0\} \to H \otimes_{\mathbb{Z}} H' \to H \otimes_{\mathbb{Z}} G' \to H \otimes_{\mathbb{Z}} D' \to \{0\} \tag{4}$$

Por el mismo motivo que el anterior, $H \otimes_{\mathbb{Z}} D'$ se desvanece llevándote a la conclusión de que $$H \otimes_{\mathbb{Z}} H' \approx H \otimes_{\mathbb{Z}} G' \approx G \otimes_{\mathbb{Z}} G' \tag{5}$$

En virtud de la distributividad universal del producto tensorial con respecto a las sumas directas, $H \otimes_{\mathbb{Z}} H'$ puede desarrollarse en la suma directa de productos tensoriales de pares de grupos cíclicos, y es bien sabido que estos últimos objetos son a su vez grupos cíclicos (en general se tiene $\mathbb{Z}_m \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_n \approx \mathbb{Z}_{(m,n)}$ para cualquier $m, n \in \mathbb{N}$ ). De ahí su afirmación.