"Algebraización" de $p$ -Campos de la vida cotidiana

Question

Parte 1: un único lugar finito. Dejemos que $K$ sea una extensión finita de $\mathbf{Q}_p$ .

¿Existe un campo numérico $F/\mathbf{Q}$ y un lugar finito $v$ que se encuentra encima de $p$ , de tal manera que para la finalización de $F$ en $v$ tenemos un isomorfismo topológico de extensiones de campos topológicos de $\mathbf{Q}_p$ :

$$F_v\simeq K ?$$

En palabras imprecisas, ¿alguna $p$ -¿el campo de la adicción viene a completar un campo numérico?

Parte 2: una familia de $p$ -Campos de la adicción. (FORMULADA COMO UNA PREGUNTA SEPARADA, aquí ) Dejemos que $(K_p)_p$ sea una colección de $p$ -campos de la vida cotidiana. Supongamos que la primera parte de la pregunta tiene respuesta positiva. ¿Existe una condición en $(K_p)_p$ tal que hay un campo numérico $K$ recuperando cada $K_p$ como una terminación?

Answer 1

La respuesta a la primera parte es sí. Dado $K/\mathbb{Q}_p$ , dejemos que $\alpha\in K$ sea un elemento primitivo, con polinomio mónico mínimo $f(x)=x^n+\sum_{i=1}^n a_i x^{n-i}$ , $a_i\in\mathbb{Q}_p$ . Así que tenemos $K\cong\mathbb{Q}_p[x]/(f(x))$ . El lema de Krasner implica que existe un número entero positivo $N$ de manera que si $b_i\in\mathbb{Q}_p$ satisfacer $v_p(b_i-a_i)\geq N$ entonces el polinomio $g(x)=x^n+\sum_i b_i x^{n-i}$ satisface $\mathbb{Q}_p[x]/(f(x))\cong\mathbb{Q}_p[x]/(g(x))$ . En particular, dado que $\mathbb{Q}$ es denso en $\mathbb{Q}_p$ podemos elegir el $b_i$ para ser racional. Entonces $F:=\mathbb{Q}[x]/(g(x))$ es una extensión finita de $\mathbb{Q}$ y $F\otimes\mathbb{Q}_p\cong\mathbb{Q}_p[x]/(g(x))\cong K$ . En general, la tensorización de un campo numérico con $\mathbb{Q}_p$ da el producto de las terminaciones de ese campo numérico en los primos que se encuentran sobre $p$ por lo que en este caso sólo hay un primo $v$ de $F$ en $p$ y $F_v\cong K$ .

No conozco la respuesta a la segunda parte, pero mencionaré algunas condiciones necesarias en la familia $(K_p)$ : sólo se pueden ramificar finitamente, sólo se producen finitamente muchos grados, y $\{p:K_p=\mathbb{Q}_p\}$ tiene una densidad inferior positiva.