¿Qué es análisis de Fourier en grupos y tiene "aplicaciones" a la física?

Question

Estoy tratando de ser lo más específico posible, pero estoy muy claro sobre este tema (Análisis de Fourier en Grupos).

En el Reed-Simon Vol II (Análisis de Fourier, la Auto-Adjointness existe cierta discusión acerca de semigroups (aquellos que son holomorphic, hypercontractive, $L^p$-contractura, fuertemente continuo). También hay mención de pseudo-operadores diferenciales en el no conmutativa caso. Además, sé que infinte-dimensional grupo de representaciones son muy valiosos en la física así, pero es que incluso relacionado con el grupo de representaciones que surgen en el "Análisis de Fourier en los Grupos"?

Sé que estoy pidiendo un extremadamente superficial de la cuestión, pero yo no sé nada sobre el Análisis de Fourier en Grupos y estoy tratando de entender de qué se trata.

Answer 1

"Análisis de Fourier en los Grupos" es, como Theo ya se señaló, normalmente se entiende que ser acerca de las representaciones irreducibles de localmente compacto abelian grupos. Me gustaría añadir a las referencias existentes:

• Gerald B. Folland, Un curso en resumen el análisis armónico, los Estudios en Adv. de Matemáticas. CRC Press 1995, MR1397028

Cómo es esto importante para la física? Voy a recoger el ejemplo más importante que debo saber axiomática de la teoría cuántica de campos (también conocido como algebraicas QFT o Haag-Kastler enfoque axiomático).

Reed & Simon hablar de semigroups porque en la mecánica cuántica, a menudo hay una relación de características observables = esencialmente selfadjoint los operadores a y el semigroup de la simetría de las transformaciones que un observable genera a través de $\exp(i t A)$ (esta es la Piedra del teorema).

En la teoría cuántica de campos por lo general habla sobre el espacio-tiempo de Minkowski, que tiene como grupo de simetría del grupo de Poincaré. Este grupo tiene un subgrupo, el grupo abelian de las traducciones. Para un sistema cuántico en el espacio-tiempo de Minkowski, tenemos un espacio de Hilbert $H$ de los posibles estados del sistema y de la intensidad de continua representación del grupo de Poincaré en el grupo de operadores unitarios de $H$. Los generadores de los grupos de traducciones $T$ corresponde a la energía (tiempo de traducciones) y el impulso espacial (traducciones), esta es la versión cuántica de la energía-impulso-vector en el clásico de la relatividad especial.

Resultado del análisis armónico localmente compacto grupos es el problema teorema (SNAG = Piedra-Naimark-Ambrosio-Godement).

En el caso particular de la traducción de grupo $T$ dice que hay un espectral de medida $P$ de tal manera que tenemos para las traducciones $U(t)$ esta relación:

$$ \mathcal{U}(t) = \int_{k\in \mathbb{R}^n} e^{i \langle t, k\rangle} \mathcal{P}(d k) \qquad \forall t \in \mathcal{T} $$ En este caso especial, que podemos identificar con el apoyo de la espectral de medida $P$ como un subconjunto de a $\mathbb{R}^n$ (de la cual vemos como el espacio-tiempo de Minkowski aquí. Para el espacio-tiempo de Minkowski n es generalmente de 4, pero no veo ningún daño en el mantenimiento de la n aquí.)

Ahora, una parte de la famosa Haag-Kastler axiomas es la positividad de la energía: Este axioma es necesario para evitar que las teorías que, por ejemplo, el vacío es inestable porque decayes a los estados con más y más energías. Este axioma puede ser formulado, gracias a la PEGA teorema, afirmando que el apoyo de la espectral de medida $P$ debe estar contenida en el cerrado positivo cono de luz de espacio-tiempo de Minkowski. Esto implica que no puede haber estados con una negativa autovalor del operador de energía.

Así que, este es un ejemplo donde un lugar profundo teorema de análisis armónico, el problema-teorema, es necesario para comprender uno de los axiomas de un enfoque axiomático de la teoría cuántica de campos.

Answer 2

Creo que algunos de los más profundo de los resultados en el análisis de Fourier de grupos Harish-Chandra resultados en la Plancherel fórmula para la semi-simple Mentira grupos.

Si $G$ es un semi-simple Mentira de grupo (por ejemplo, el especial de los grupos lineares $SL_n(\mathbb R)$, el especial ortogonal grupos $SO(p,q)$, etc.) a continuación, $G$ tiene un único (a escala) de traducción invariante de la medida, el llamado Haar medida, y el $L^2$-espacio con respecto a esta medida, es decir,$L^2(G)$, es, naturalmente, una representación de $G$ bajo (a la izquierda o a la derecha, es su elección) la acción de traducción de $G$.

El problema de la Plancherel fórmula es descomponer $L^2(G)$ en irreductible representaciones.

Aquí están algunos ejemplos (ninguno de los grupos es semi-simple, en realidad, pero le dará una idea):

Si $G$ es el círculo de grupo $S^1$, $L^2(S^1)$ es un (completado) suma directa de los caracteres $z \mapsto z^n$ ( $n \in \mathbb Z$ ); esta es la teoría de series de Fourier.

Si $G = \mathbb R$ $L^2(G)$ es el directo integral de los personajes $x\mapsto e^{ix y}$ ($y\in \mathbb R$); esta es la teoría de la transformada de Fourier.

Al $G$ es un no-grupo abelian como $SL_2(\mathbb R)$ la situación es más complicada, debido a que (a) los grupos de admitir infinito-dimensional irreductible las representaciones, que pueden aparecer en $L^2$, lo $L^2$ no acaba de descomponer en personajes unidimensionales; (b) a diferencia de en el abelian caso, donde el espacio de caracteres es de nuevo un grupo, y por lo tanto homogénea, la colección de representaciones de un semi-simple grupo no será homogéneo en todo sentido, y en consecuencia, la descomposición de la $L^2(G)$ no será homogéneo — que puede contener tanto la suma directa de las partes (como en el caso de la serie de Fourier) y directa integral partes (como en la transformada de Fourier caso).

Harish-Chandra determinó la Plancherel fórmula por la primera conclusión a la suma directa de parte de cada semi-simple grupo y, a continuación, hacer un argumento inductivo en la dimensión del grupo para entender el directo de la parte integral.

Algunos detalles más de esta foto puede ser encontrada en este MO respuesta.

En cuanto a sus aplicaciones a la física, yo no soy la persona adecuada para comentar seriamente en eso . Sin embargo, parece que vale la pena destacar que la central unitaria de representaciones irreducibles de $SL_2(\mathbb R)$ primero fueron clasificados por Bargmann, que creo que era un físico, y que Harish-Chandra, quien era un estudiante de Dirac, comenzó su trabajo intentando generalizar Bargmann la clasificación a la otra semi-simple grupos.

Answer 3

El habitual análisis de Fourier de funciones periódicas se generaliza a lo finito simetría de los grupos por la descomposición de funciones $f:G\to\mathbb{C}$ subyacente en "representación" de los componentes, de forma similar a las ondas son mezclas o superposiciones de sus modos. En el abelian caso, donde las representaciones son los personajes de un grupo, la idea básica es que la función es una combinación lineal de las contribuciones únicas de cada elemento $\chi$ de la dual grupo $\hat{G}$, posiblemente análogas a las ondas de sonido se crea a partir de las contribuciones específicas de los armónicos de frecuencias distintas.

---

Por lo que he leído, deduzco que el análisis de Fourier en grupos finitos es indispensable en algoritmos cuánticos. Específicamente en relación a las escondidas subgrupo problema:

Definición 3.1 (Se Separa Cosets). $\text{ }$ Dado un grupo de $G$, un subgrupo $H\le G$, y un conjunto $X$, podemos decir que una función $f:G\to X$ separa cosets de $H$ si para todos $g_1,g_2\in G$, $f(g_1)=f(g_2)$ si y sólo si $g_1H=g_2H$.

Definición 3.2 (El Oculto Subgrupo Problema). $\text{ }$ Deje $G$ ser un grupo, $X$ de un número finito de sitio, y $f:G\to X$ una función tal que existe un subgrupo de $H<G$ que $f$ separa cosets de $H$. Con la información obtenida de las evaluaciones de $f$, determinar un grupo electrógeno $H$.

Wikipedia describe un par computacional motivaciones detrás de este problema:

• Shor del algoritmo cuántico de la factorización de enteros y logaritmos discretos (así como algunas de sus extensiones) se basa en la capacidad de los ordenadores cuánticos para resolver el HSP para finitos abelian grupos.
• La existencia de eficientes algoritmos cuánticos de HSPs para que algunos no Abelian grupos implicaría eficiente de algoritmos cuánticos para los dos problemas principales: el gráfico de isomorfismo problema y ciertos menor vector de problemas en redes. Más precisamente, un eficiente algoritmo cuántico para la HSP para el grupo simétrico daría un algoritmo cuántico para el gráfico de isomorfismo. Un eficiente algoritmo cuántico para la HSP para el diedro grupo daría un algoritmo cuántico para el poli(n) único SVP

El exponencial speedup encontrado en la mayoría de los algoritmos cuánticos viene de la solución de HSP de manera eficiente, que es en $O(\mathrm{poly}(\log|G|))$ del tiempo. El programa de instalación está diseñado para que un ordenador cuántico del qubits se comportan como elementos de $G$ bajo la acción de determinados operadores, y la medición de operador se comporta como un oráculo dando uniformemente al azar evaluaciones de $f$. El algoritmo estándar (ver HSP link) es:

[...] Quantum de Fourier de Muestreo, o QFS de corto. Es el proceso de preparación de un estado cuántico en un uniforme de la superposición de estados indexados por un grupo, luego de realizar una función de oracle, a continuación, un quantum de transformada de Fourier, y por último muestreo el estado resultante para recopilar información acerca de los subgrupos oculto por el oráculo.

Estoy un poco difusa en los detalles del mismo, ya que este material es en su mayoría fuera de mi liga. Pero cuántica de Fourier de muestreo para la oculta subgrupo problema es la primera y única aplicación real que viene a mi mente cuando pienso en el análisis de Fourier en grupos finitos, y creo que se ve hermosa.

Answer 4

Respuesta para la pregunta"¿Qué es el Análisis de Fourier en Grupos y no se tienen las "aplicaciones" de la física?"

He participado desde 1990, cuando yo era estudiante en el Tel. D programa y yo había publicado dos artículos en no conmutativa análisis de armónicos en la moción del grupo Rⁿ⋊K , donde K es la conexión de un compacto de Lie del grupo. Desde entonces me han hecho mucho para ampliar mi investigación sobre la Mentira de los grupos. Mi área de investigación en Matemáticas es la apertura de una nueva modos no conmutativa en el análisis de Fourier (resumen del análisis armónico) en la Mentira de los grupos para obtener la solución de los principales problemas en el análisis de Fourier en la Mentira de los grupos. Resumen el análisis armónico es una hermosa y potente área de la matemática pura que tiene conexiones a, la física teórica, análisis de química, álgebra, geometría, resolución de problemas en la robótica, análisis de imagen, mecánica. y la teoría de algoritmos. En las matemáticas. Resumen el análisis armónico localmente compacto grupos es generalmente una tarea difícil. En la segunda mitad del siglo veinte, dos puntos de vista fueron adoptadas por la comunidad de las matemáticas: La primera es la teoría de las representaciones de la Mentira de los grupos. Por desgracia, Si el grupo G es no asume abelian, ya no es posible considerar la doble grupo G i.e el conjunto de todas las clases de equivalencia de unitario de representaciones irreducibles). Durante mucho tiempo, la gente ha tratado de construir objetos con el fin de generalizar la transformada de Fourier y de Pontryagin,s el teorema de la no abelian caso. Sin embargo, con el doble objeto de no ser un grupo, no es posible definir la transformada de Fourier y la inversa de la transformada de Fourier entre la G y G. Estas dificultades de análisis de Fourier on no conmutativa de los grupos hace que no conmutativa la versión de que el problema muy difícil. Era necesario encontrar un subgrupo o, al menos, un subconjunto de localmente compacto grupos que no eran "patológico", o "salvaje" como Kirillov llama. Aquí hay algunos ejemplos interesantes de estos grupos. Así que este punto de vista para hacer resumen de análisis armónico localmente compacto grupos es generalmente una tarea difícil debido a la naturaleza del grupo de representaciones.Hubo poco éxito en esta teoría, por ejemplo Mautner y Segal había introducido la Plancherel fórmula en 1950, para el tipo me unimodular Mentira grupo, de modo que los siguientes cabo

‖f‖²=∫_{G}‖π(f)‖_{H.S}²dμ(π)

para todo f∈L2(G), donde G es el conjunto de todos los irreductible unitario de representaciones de G, π∈G , dµ es el de la Plancherel medida en G y ‖π(f)‖_{H. S}2 es la de Hilbert-Schmidt norma del operador π(f). El segundo es el de los grupos cuánticos, que fue presentado por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo. algunos resultados fueron obtenidos por esta teoría. El profesor Dr. A., Van Daele, escribió en su artículo, "La transformada de Fourier cuántica teoría de grupo, preprint (de matemáticas.RA/0609502 en http://lanl.arXiv.org) 2007", escribió, voy a ilustrar diversas nociones y resultados utilizando no sólo la clásica teoría de Fourier en el círculo de T, sino también sobre el aditivo grupo Qp de p-ádico números. Debe ser observado sin embargo que estos casos son todavía demasiado simple para ilustrar el poder de la teoría más general. Para hacer el análisis de Fourier, se necesita una integral en la Una como en la doble vertiente de la A. Este es el caso cuando Una es un multiplicador de álgebra de Hopf con integrales. A continuación, el doble de Una puede ser considerado y es de nuevo un multiplicador de álgebra de Hopf con integrales. La teoría de álgebras de Hopf no es lo suficientemente general para este propósito debido a que en este caso requiere de una integral tanto en Una y su doble, de las fuerzas de Un ser finito-dimensional. Por lo tanto, muchos casos interesantes y ejemplos no pueden ser tratados si nos atenemos a la teoría de álgebras de Hopf. Consequantly estos programas tuvieron cierto éxito limitado.

El profesor Shahn Majid escribió en su artículo "¿Qué es el Quantum Grupo de" Avisos de la AMS (2006). Hay tres puntos de vista principales, independientemente de los cuatro axiomas del álgebra de Hopf. Cada uno de ellos define qué es quantum grupo. Como bien se sabe, el segundo y tercer puntos de vista son los mismos de los principales problemas en abstracto el análisis armónico (análisis de Fourier no conmutativa Mentira grupos), en la no abelian localmente compacto Mentira grupos mencionados en el anterior, que se (I)- La primera es la construcción de objetos de G que será el doble de grupo de G con el fin de hacer la transformada de Fourier de G y más de generalizar Pontryagin del teorema de la no-abelian caso. (II)-La segunda es el estudio de los análisis de Fourier no abelian localmente compacto Mentira grupos. (III)- La tercera es el estudio el grupo de álgebra de no abelian localmente compacto Mentira grupos no conmutativos de Banach álgebra, álgebra envolvente, ....y sus ideales. Así que aún ahora, ni la teoría cuántica de los grupos ni las representaciones de la teoría han hecho para llegar a este objetivo

La importante y muy interesante, la pregunta es: se puede hacer resumen del análisis armónico en la Mentira grupos, es decir, la transformada de Fourier puede ser definido para resolver los problemas mencionados. Recientemente, estos problemas de encontrar una solución satisfactoria con los papeles. Por lo tanto, me gustaría atuendo de su atención en las ideas de mi investigación que se centran en el resumen, el análisis armónico (análisis de Fourier no conmutativa Mentira grupos) que puedo resumir en dos formas: La primera es que la solvencia de Lewy operador y la invalidez de Hormander,s condición para la solvencia de los operadores diferenciales con coeficiente de las variables, en la que se estableció en mis papeles "nota sobre la solvencia de la Lewy operador" y "nota sobre la solvencia de la Mizohata operador" en Matemática Internacional del Foro. Creo que estos documentos será el negocio de la experiencia en la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con coeficientes de la variable como sus soluciones( funciones o numérica) y sus aplicaciones La segunda, creo que con la confianza de que puedo resolver los tres problemas principales para nilpotent Mentira grupos, y completamente solucionable Mentira grupos, Moción del grupo ≃ Rⁿ⋊K, donde K es la conexión de un compacto de Lie del grupo de Galelian grupo ≃ H⋊ SO(3, R), grupo de Poincaré (Espacio de tiempo) ≃R⁴⋊SL(2, ℂ)≃R⁴⋊SO(3,1), Jacobi grupo J≃H⋊ SL(2, R), donde H es la 3-dimentioal Heisenberg grupo, GL₊(n, R). Más, en mi reciente libro "la transformada de Fourier y Plancherel Fórmula para el Grupo de Lorentz", me han demostrado que los conjuntos R_{- , }^{∗} O₋(n, R) y GL(n, R) , cada uno tiene una estructura de grupo isomorfo a R_{ , } SO(n, R), GL y₊(n, R) ver mis papeles ( ir a google y escribe Kahar el Hussein a chick mi contribución en este campo) . Por lo tanto, creo que estas formas será el negocio de los conocimientos en la teoría de la no conmutativa análisis de Fourier en la Mentira de los grupos, y los Físicos, y que es lo que estoy interesado. Por ejemplo, para alcanzar este objetivo para el grupo de Poincaré(Espacio de tiempo) ≃R⁴⋊SL(2, ℂ)≃R⁴⋊SO(3,1) empezamos por la definición de la transformada de Fourier y el establecimiento de Plancherel Fórmula de la Moción del grupo y el complejo de Lie semisimple grupo SL(2,ℂ) y, a continuación, el espacio-tiempo(el grupo de Poincaré).

Answer 5

Soy un ingeniero interesado en el tema de análisis armónico en grupos (HAG) y sus aplicaciones en la teoría del sistema y procesamiento de señales. He tratado de introducir el tema en el libro, '' simetrías y grupos en procesamiento de señales", Springer 2010. Las observaciones hechas allí y los ejemplos dados podrían ser útiles en el debate actual sobre la pregunta original sobre aplicaciones de la bruja.

Virendra P. Sinha