Respuesta para la pregunta"¿Qué es el Análisis de Fourier en Grupos y no se tienen las "aplicaciones" de la física?"
He participado desde 1990, cuando yo era estudiante en el Tel. D programa y yo había publicado dos artículos en no conmutativa análisis de armónicos en la moción del grupo Rⁿ⋊K , donde K es la conexión de un compacto de Lie del grupo. Desde entonces me han hecho mucho para ampliar mi investigación sobre la Mentira de los grupos. Mi área de investigación en Matemáticas es la apertura de una nueva modos no conmutativa en el análisis de Fourier (resumen del análisis armónico) en la Mentira de los grupos para obtener la solución de los principales problemas en el análisis de Fourier en la Mentira de los grupos. Resumen el análisis armónico es una hermosa y potente área de la matemática pura que tiene conexiones a, la física teórica, análisis de química, álgebra, geometría, resolución de problemas en la robótica, análisis de imagen, mecánica. y la teoría de algoritmos. En las matemáticas. Resumen el análisis armónico localmente compacto grupos es generalmente una tarea difícil. En la segunda mitad del siglo veinte, dos puntos de vista fueron adoptadas por la comunidad de las matemáticas:
La primera es la teoría de las representaciones de la Mentira de los grupos. Por desgracia, Si el grupo G es no asume abelian, ya no es posible considerar la doble grupo G i.e el conjunto de todas las clases de equivalencia de unitario de representaciones irreducibles). Durante mucho tiempo, la gente ha tratado de construir objetos con el fin de generalizar la transformada de Fourier y de Pontryagin,s el teorema de la no abelian caso. Sin embargo, con el doble objeto de no ser un grupo, no es posible definir la transformada de Fourier y la inversa de la transformada de Fourier entre la G y G. Estas dificultades de análisis de Fourier on no conmutativa de los grupos hace que no conmutativa la versión de que el problema muy difícil. Era necesario encontrar un subgrupo o, al menos, un subconjunto de localmente compacto grupos que no eran "patológico", o "salvaje" como Kirillov llama. Aquí hay algunos ejemplos interesantes de estos grupos. Así que este punto de vista para hacer resumen de análisis armónico localmente compacto grupos es generalmente una tarea difícil debido a la naturaleza del grupo de representaciones.Hubo poco éxito en esta teoría, por ejemplo Mautner y Segal había introducido la Plancherel fórmula en 1950, para el tipo me unimodular Mentira grupo, de modo que los siguientes cabo
‖f‖²=∫_{G}‖π(f)‖_{H.S}²dμ(π)
para todo f∈L2(G), donde G es el conjunto de todos los irreductible unitario de representaciones de G, π∈G , dµ es el de la Plancherel medida en G y ‖π(f)‖_{H. S}2 es la de Hilbert-Schmidt norma del operador π(f).
El segundo es el de los grupos cuánticos, que fue presentado por Vladimir Drinfeld y Michio Jimbo. algunos resultados fueron obtenidos por esta teoría.
El profesor Dr. A., Van Daele, escribió en su artículo, "La transformada de Fourier cuántica teoría de grupo, preprint (de matemáticas.RA/0609502 en http://lanl.arXiv.org) 2007", escribió, voy a ilustrar diversas nociones y resultados utilizando no sólo la clásica teoría de Fourier en el círculo de T, sino también sobre el aditivo grupo Qp de p-ádico números. Debe ser observado sin embargo que estos casos son todavía demasiado simple para ilustrar el poder de la teoría más general. Para hacer el análisis de Fourier, se necesita una integral en la Una como en la doble vertiente de la A. Este es el caso cuando Una es un multiplicador de álgebra de Hopf con integrales. A continuación, el doble de Una puede ser considerado y es de nuevo un multiplicador de álgebra de Hopf con integrales. La teoría de álgebras de Hopf no es lo suficientemente general para este propósito debido a que en este caso requiere de una integral tanto en Una y su doble, de las fuerzas de Un ser finito-dimensional. Por lo tanto, muchos casos interesantes y ejemplos no pueden ser tratados si nos atenemos a la teoría de álgebras de Hopf. Consequantly estos programas tuvieron cierto éxito limitado.
El profesor Shahn Majid escribió en su artículo "¿Qué es el Quantum Grupo de" Avisos de la AMS (2006). Hay tres puntos de vista principales, independientemente de los cuatro axiomas del álgebra de Hopf. Cada uno de ellos define qué es quantum grupo. Como bien se sabe, el segundo y tercer puntos de vista son los mismos de los principales problemas en abstracto el análisis armónico (análisis de Fourier no conmutativa Mentira grupos), en la no abelian localmente compacto Mentira grupos mencionados en el anterior, que se
(I)- La primera es la construcción de objetos de G que será el doble de grupo de G con el fin de hacer la transformada de Fourier de G y más de generalizar Pontryagin del teorema de la no-abelian caso.
(II)-La segunda es el estudio de los análisis de Fourier no abelian localmente compacto Mentira grupos.
(III)- La tercera es el estudio el grupo de álgebra de no abelian localmente compacto Mentira grupos no conmutativos de Banach álgebra, álgebra envolvente, ....y sus ideales. Así que aún ahora, ni la teoría cuántica de los grupos ni las representaciones de la teoría han hecho para llegar a este objetivo
La importante y muy interesante, la pregunta es: se puede hacer resumen del análisis armónico en la Mentira grupos, es decir, la transformada de Fourier puede ser definido para resolver los problemas mencionados. Recientemente, estos problemas de encontrar una solución satisfactoria con los papeles. Por lo tanto, me gustaría atuendo de su atención en las ideas de mi investigación que se centran en el resumen, el análisis armónico (análisis de Fourier no conmutativa Mentira grupos) que puedo resumir en dos formas:
La primera es que la solvencia de Lewy operador y la invalidez de Hormander,s condición para la solvencia de los operadores diferenciales con coeficiente de las variables, en la que se estableció en mis papeles "nota sobre la solvencia de la Lewy operador" y "nota sobre la solvencia de la Mizohata operador" en Matemática Internacional del Foro.
Creo que estos documentos será el negocio de la experiencia en la teoría de ecuaciones diferenciales en derivadas parciales con coeficientes de la variable como sus soluciones( funciones o numérica) y sus aplicaciones
La segunda, creo que con la confianza de que puedo resolver los tres problemas principales para nilpotent Mentira grupos, y completamente solucionable Mentira grupos, Moción del grupo ≃ Rⁿ⋊K, donde K es la conexión de un compacto de Lie del grupo de Galelian grupo ≃ H⋊ SO(3, R), grupo de Poincaré (Espacio de tiempo) ≃R⁴⋊SL(2, ℂ)≃R⁴⋊SO(3,1), Jacobi grupo J≃H⋊ SL(2, R), donde H es la 3-dimentioal Heisenberg grupo, GL₊(n, R).
Más, en mi reciente libro "la transformada de Fourier y Plancherel Fórmula para el Grupo de Lorentz", me han demostrado que los conjuntos R_{- , }^{∗} O₋(n, R) y GL(n, R) , cada uno tiene una estructura de grupo isomorfo a R_{ , } SO(n, R), GL y₊(n, R) ver mis papeles ( ir a google y escribe Kahar el Hussein a chick mi contribución en este campo) .
Por lo tanto, creo que estas formas será el negocio de los conocimientos en la teoría de la no conmutativa análisis de Fourier en la Mentira de los grupos, y los Físicos, y que es lo que estoy interesado. Por ejemplo, para alcanzar este objetivo para el grupo de Poincaré(Espacio de tiempo) ≃R⁴⋊SL(2, ℂ)≃R⁴⋊SO(3,1) empezamos por la definición de la transformada de Fourier y el establecimiento de Plancherel Fórmula de la Moción del grupo y el complejo de Lie semisimple grupo SL(2,ℂ) y, a continuación, el espacio-tiempo(el grupo de Poincaré).