Si para $A$ un anillo conmutativo no nulo $A^m ≅ A^n$ como $A$ -módulos, entonces $m = n$

Question

Este es el problema que tengo que resolver:

Dejemos que $A$ sea un anillo no nulo. Demuestre que si $A^m A^n$ entonces $m = n$ .

El libro del que saqué este problema sugiere utilizar el siguiente método para resolverlo:

Dejemos que $M$ sea un ideal máximo de $A$ y que $f: A^m \rightarrow A^n$ sea un isomorfismo. Entonces $1\otimes f:(A/M) \otimes A^m \rightarrow (A/M) \otimes A^n$ es un isomorfismo entre espacios vectoriales de dimensiones $m$ y $n$ sobre el campo $K = A/M$ . Por lo tanto, $m = n$ .

El problema es que no tengo ni idea de cómo utilizar esta pista, principalmente porque no comprendo los productos tensoriales. No los hemos repasado en clase debido a que algunas inclemencias del tiempo lo cerraron, y nada de lo que he leído sobre ellos en el libro o buscando en internet, incluyendo algunas respuestas a una pregunta en esta misma web, tiene sentido para mí. No consigo hacerme a la idea de lo que son, de cómo se fabrican los módulos de los que están hechos, ni para qué sirven.

¿Hay alguna forma de resolver este problema sin utilizar productos tensoriales? Y si no la hay, ¿hay alguna prueba de otros problemas que usen productos tensoriales que pueda leer y quizás entender cómo usar este objeto en una prueba?

Answer 1

Sí, yo tampoco sé por qué se recomiendan aquí los productos de tesnor.

Convénzase de que la existencia de un isomorfismo de módulo entre $R^n$ y $R^m$ equivale a la existencia de un $n\times m $ matriz $A$ y un $m\times n$ matriz $B$ tal que $AB=I_n$ y $BA=I_m$ , todos con entradas en $R$ . Esto es sólo álgebra lineal básica sobre lo que $Hom_R(R^n,R^m)$ parece.

Ahora bien, si se toma un ideal máximo $M$ y aplicar la proyección de $R$ en $R/M$ a las entradas de estas matrices, se obtienen matrices sobre un campo con la misma propiedad. Pero sabemos que esto no es posible para los campos, ya que los espacios vectoriales de dimensión finita tienen una dimensión única.

Answer 2

Demostrar que $f(M^n) = M^m$ . Esto es más difícil de lo que parece, pero no demasiado. Eso significa que $\bar f:A^n / M^n \to A^m / M^m : x + M^n \mapsto f(x) + M^m$ está bien definida y es biyectiva; es evidente que $A$ -lineal. Sin embargo, $A^n / M^n \cong (A/M)^n$ por lo que obtenemos un isomorfismo $\hat f : (A/M)^n \to (A/M)^m$ es decir $A/M$ -lineal. Dado que $A/M$ es un campo, y la dimensión está bien definida para los espacios vectoriales como $(A/M)^n$ y $(A/M)^m$ obtenemos $m=n$ .