Límite de la secuencia de Cauchy

Question

Puede alguien ayudarme con esta pregunta, por favor:

Dejemos que $(a_n)_{n\in\mathbb N}$ sea una sucesión de Cauchy, con límite $\ell$ . Demuestre que si $N\in\mathbb N_+$ es tal que $$n,m\ge N \Rightarrow |a_n-a_m|\le\varepsilon$$ entonces, para el mismo $N\in\mathbb N_+$ , $$n\ge N \Rightarrow |a_n-\ell|\le\varepsilon.$$

Existe $N$ s.t. $n,m\geq N \Rightarrow |a_n-a_m|\leq \epsilon$ . El $m$ puede llegar a ser tan grande como sea posible, pero todavía el máximo que puede llegar es el límite $l$ que todavía tiene que estar dentro de epsilon. Así que eso es lo que tenemos que demostrar, pero no estoy seguro de cómo hacerlo con rigor.

Answer 1

Elija cualquier $c > 0$ . Desde $\lim_{n \to \infty} a_n = l$ , para un tamaño suficientemente grande $n$ , $|a_n - l| < c$ .

Por lo tanto, para un tamaño suficientemente grande $n$ y $m$ , $|a_n - l| = |a_n - a_m + a_m - l| \le |a_n - a_m| + |a_m - l| \le \epsilon + c $ .

Si $|a_n-l| > \epsilon$ para todo lo que sea suficientemente grande $n$ , entonces hay un $d > 0$ tal que $|a_n-l| \ge \epsilon + d$ , pero esto se contradice con la elección por ejemplo, $c = d/2$ en $|a_n - l| \le \epsilon + c $ .

Por lo tanto, $|a_n-l| \le \epsilon$ para que sea lo suficientemente grande $n$ .

Answer 2

Aquí hay una forma directa de ver este resultado. Considere las cantidades $$A^N := \sup_{n,m\geq N}\{|a_n-a_m|\} $$ y $$B^N := \sup_{n\geq N}\{|a_n-l|\} $$ Obsérvese que la suposición de que para todos los $n,m\geq N$ tenemos $|a_n-a_m|\leq \epsilon$ implica que $A^N\leq \epsilon$ . Ahora, fíjate que habremos terminado si podemos demostrar que $B^N\leq \epsilon$ ya que si $k\geq N$ entonces $|a_k-l|\leq B^N\leq\epsilon$ .

El hecho de que $B^N\leq \epsilon$ seguirá inmediatamente mostrando que $B^N\leq A^N$ . Para comprobarlo, dejemos que $\delta>0$ y elija $M\geq N$ de manera que si $m\geq M$ entonces $|a_m-l|\leq \delta$ . Entonces $$|a_n-l| = |a_n-a_m+a_m-l|\leq |a_n-a_m|+|a_m-l| \leq |a_n-a_m|+\delta$$ Ahora toma el sup de ambos lados $$\sup_{n\geq N}|a_n-l|\leq \sup_{n\geq N}|a_n-a_m| +\delta$$ Entonces, como $m\geq M\geq N$ tenemos $$\sup_{n\geq N}|a_n-l|\leq \sup_{n\geq N}|a_n-a_m| +\delta\leq \sup_{n,m\geq N}|a_n-a_m| +\delta$$ Ahora bien, esto es cierto para todos $\delta>0$ por lo que debemos concluir que $B^N\leq A^N$ .