Demostrar que si $f^{(k)}(f^{-1}(x))$ existe y es distinto de cero, entonces $(f^{-1})^{(k)}(x)$ existe.

Question

Creo que he encontrado un error y sólo quiero confirmarlo.

Esto es de Cálculo de Michael Spivak, 3ª edición, Capítulo 12 (Funciones inversas), problema 21.

12-21. Demuestre que si $f^{(k)}(f^{-1}(x))$ existe y es distinto de cero, entonces $(f^{-1})^{(k)}(x)$ existe.

Esto parece ser falso. Por ejemplo, tomemos $f(x) = x^3$ .

En este caso $$f^{-1}(x) = x^{\frac{1}{3}}$$ $$f(0) = f^{-1}(0) = 0$$ $$f^{(3)}(0) = 6$$

Si la afirmación es cierta, $(f^{-1})^{(3)}(0)$ existiría. Sin embargo, $(f^{-1})'(0)$ no existe (porque $f'(0) = 0$ ) por lo que las derivadas de orden superior no pueden.

Creo que la pregunta debería decir, en cambio, "Demuestre que si $f^{(k)}(f^{-1}(x))$ existe, y $f'(f^{-1}(x))$ es distinto de cero, entonces $(f^{-1})^{(k)}(x)$ existe.

¿Os parece bien?

Editar: Como se discutió con Paul Frost, la versión revisada de la declaración

Demostrar que si $f^{(k)}(f^{-1}(x))$ existe, y $f'(f^{-1}(x))$ es distinto de cero, entonces $(f^{-1})^{(k)}(x)$ existe

le falta otra cosa.

Necesitamos $f$ sea uno-uno en algún intervalo que contenga $f^{-1}(x)$ .

Para los casos $k\geq 2$ , $f$ uno-uno está implícito en $f'(f^{-1}(x))0$ y la existencia de $(f^{-1}(x))$ (que nos da la existencia de $f'$ para todos los puntos de un intervalo que contenga $f^{-1}(x)$ y la continuidad de $f'$ en $f^{-1}(x)$ ). Podemos demostrar la afirmación (corregida) para $k2$ . Sin embargo, no sabemos si $f$ es uno-uno para el caso $k=1$ . Como muestra el problema 11-63, $f'(f^{-1}(x))\neq 0$ por sí mismo no es suficiente para garantizar $f$ es creciente (o decreciente) en algún intervalo que contenga $f^{-1}(x)$

Pero está bien. Los casos de derivadas superiores son los que nos interesan de todos modos, así que podemos tomar $k = 2$ como caso base y utilizar la inducción a partir de ahí.

El corregido La declaración corregida dice: "Demostrar que si $f^{(k)}(f^{-1}(x))$ existe, y $f'(f^{-1}(x))$ es distinto de cero, entonces $(f^{-1})^{(k)}(x)$ existe para todos los $k\geq 2$ , $k\in \mathbb{N}$

Para el $k=1$ caso, tenemos el teorema 12-5.

Answer 1

Su contraejemplo es correcto; Spivak parece estar poco atento. Tampoco dice nada sobre $f$ excepto que $f^{(k)}(f^{-1}(x_0))$ existe (y es $\ne 0$ que ha demostrado ser inadecuado). La existencia de $f^{(k)}(f^{-1}(x_0))$ significa más precisamente que (a) existe un vecindario abierto $U$ de $f^{-1}(x_0)$ en el que $f$ es $(k-1)$ -veces diferenciable, y (b) $f^{(k)}(f^{-1}(x_0))$ existe.

En los teoremas 12.4 y 12.5 Spivak afirma para una función inyectiva $f$ que es diferenciable en $f^{-1}(x_0)$ :

1. Si $f'(f^{-1}(x_0)) = 0$ entonces $f^{-1}$ no es diferenciable en $x_0$ .

2. Si $f'(f^{-1}(x_0)) \ne 0$ entonces $f^{-1}$ es diferenciable en $x_0$ y $(f^{-1})'(x_0) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x_0))}$ .

Así, el requisito mínimo para la existencia de $(f^{-1})'(x_0)$ y, por tanto, para la existencia de $(f^{-1})^{(k)}(x_0)$ para algunos $k \ge 1$ es $$f'(f^{-1}(x_0)) \ne 0 \tag{1}.$$

Si $(1)$ se satisface, podemos demostrar por inducción en $k$ que $(f^{-1})^{(k)}(x_0)$ existe. El caso base $k=1$ es evidente. Consideremos ahora $k=2$ El caso general se lo dejamos a usted.

Desde $f''(f^{-1}(x_0))$ existe, $f'$ es continua en $f^{-1}(x_0)$ Por lo tanto $f'(y) \ne 0$ para todos $y$ en algún barrio abierto $U_1 \subset U$ de $f^{-1}(x_0)$ . Esto implica que

$f^{-1}$ es diferenciable en todo $x \in V_1 = f(U_1)$ que es una vecindad abierta de $x_0$ con la derivada $(f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}$ .

La regla del cociente y la regla de la cadena nos dan para todos $x \in V_1$ con la propiedad de que $f'$ es diferenciable en $f^{-1}(x)$ $$(f^{-1})''(x) = -\dfrac{f''(f^{-1}(x))}{(f'(f^{-1}(x)))^3} .$$ La inducción da entonces para todos $x \in V_1$ con la propiedad de que $f^{(k-1)}$ es diferenciable en $f^{-1}(x)$ una fórmula para $(f^{-1})^{(k)}(x)$ como una fracción cuyo denominador es una potencia de $f'(f^{-1}(x))$ y cuyo nominador tiene sumandos que son productos de potencias de derivadas $f^{(i)}(f^{-1}(x))$ con $i = 1,\ldots,k$ .