Cómo determinar los factores de amortiguación críticos para un sistema masa-muelle multiDOF

Question

¿Cómo puedo elegir $b_1$ , $b_2$ y $b_3$ para que las masas $m_1$ , $m_2$ y $m_3$ ¿tiene un comportamiento de amortiguación crítico? Si tengo una sola masa $m$ y un resorte $k$ y un amortiguador $b$ el amortiguador tendría el valor $$b = 2*\sqrt{m*k}$$

para dar a la masa un comportamiento de amortiguación crítico. Pero ahora tengo un sistema de ODEs. La rigidez es muy fácil de determinar porque como desarrollador puedo elegir el punto de equilibrio estático. Mi imagen (y las ecuaciones que la acompañan) a continuación lo explicarán.

Sistema de EDO de segundo orden: $$m_3*ddh = m_3g - k_3(h-y)-b_3(dh-dy)$$ $$m_2*ddy = m_2*g +k_3(h-y)+b_3(dh-dy)-k_2(y-z)-b_2(dy-dz)$$ $$m_1*ddz = m_1*g + k_2(y-z)+b_2(dy-dz)-k_1*z-b_1*dz$$

Determine la rigidez si $h$ , $y$ y $z$ son conocidos: $h>y>z$ $$k_3 = \frac{m_3*g}{h-y}$$ $$k_2 = \frac{m_3*g+m_2*g}{y-z}$$ $$k_1 = \frac{m_3*g+m_2*g+m_1*g}{z}$$

Answer 1

Se trata de una pregunta "con trampa", ya que el amortiguamiento crítico está estrictamente definido para un sistema dinámico lineal de segundo orden (2 estados). Tu diagrama da como resultado un sistema de 6º orden. Y aunque se podría considerar resolver cada plataforma por separado, como son subsistemas de 2º orden, los subsistemas se "acoplan" y también lo hacen los factores de amortiguación.

Se puede resolver una función de transferencia lineal para el sistema de 6º orden y utilizar técnicas de reducción de modelos para obtener un modelo de 2º orden adecuado, pero un enfoque más rápido y sencillo sería simular el sistema y "afinar" sus tres factores por ensayo y error para que la respuesta del sistema de 6º orden se acerque a lo que parece más cercano a la amortiguación crítica.

Si la herramienta de simulación tiene funciones de optimización, como Vissim, puedes determinar automáticamente un conjunto de parámetros tal que tu sistema se aproxime a una respuesta amortiguada crítica de segundo orden de un modelo de referencia. En 30 minutos tendrás la respuesta.