Ejemplo de funciones no polinómicas en un anillo infinito

Question

Me gustaría terminar el siguiente ejercicio:

R es un anillo conmutativo infinito con $1 \neq 0$ . Sabemos que no todas las funciones $f:R \to R$ es una función polinómica (a diferencia de cuando el anillo es finito). Dé un ejemplo de $f:R\to R$ que no es una función polinómica (y la prueba de que no es una función polinómica).

Mi intento: Para $x\neq 0$ definimos $f(x)=\prod_{i=0}^{\infty}(a_i+(-x))$ donde $-x$ es el elemento inverso de $x$ con respecto a $+$ funcionamiento y $a_i \in R, a_i\neq a_j$ para $i\neq j$ . De esto sabemos que $f(x)=0$ para un número infinito de $x$ .

Y en este momento tengo una pregunta. ,,número de raíces del polinomio $\leq$ grado del polinomio" funciona siempre para $R$ ¿se define así?

Si es así, entonces $f$ Tengo $\infty$ muchas raíces, por lo que es una función no polinómica o una función nula (polinomio de grado 0). Así que definiendo $f(0)=1$ sabemos que no es una función polinómica.

¿Es esto correcto? Gracias de antemano.

En el próximo intento, intentaré demostrar que no hay ningún polinomio igual a la conjugación compleja: $f(a+bi)=\sum_{n=0}^{n'}(a_n+b_ni)(a+bi)^n$ para algunos $a_n,b_n\in \mathbb{R}$ . $(a+bi)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}a^{n-k}(bi)^k=\sum_{k=0}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil} {n\choose 2k}a^{n-2k}b^{2k}(-1)^k+$ $+i\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} {n\choose 2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}(-1)^k$

Así,

$Im(f(a+bi))=\sum_{n=0}^{n'}(a_n\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} {n\choose 2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}(-1)^k)+$ $+(b_n \sum_{k=0}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil} {n\choose 2k}a^{n-2k}b^{2k}(-1)^k)$

Y

$Im(f(a-bi))=\sum_{n=0}^{n'}(-a_n\sum_{k=0}^{\lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor} {n\choose 2k+1}a^{n-(2k+1)}b^{2k+1}(-1)^k)+$ $+(b_n \sum_{k=0}^{\lceil \frac{n-1}{2} \rceil} {n\choose 2k}a^{n-2k}b^{2k}(-1)^k)$

Y porque $Im(f(a+bi))=-Im(f(a-bi))$ si queremos que sea una conjugación compleja entonces cada $b_n=0$ y de manera muy simmular podemos demostrar que cada $a_n=0$ de $Re(f(a+bi))=Re(f(a-bi))$ Por lo tanto $f(x)=0$ por lo que no hay ningún polinomio igual a la conjugación compleja. ¿Es correcto ahora?

Answer 1

Cada función $R\to R$ está representado por un polinomio si $R$ es un campo finito.

Dejemos que $f(0)=1, f(a)=0$ para $a\ne 0$ .

Si $R$ es un campo, entonces es fácil, ya que los polinomios tienen un número finito de raíces.

De lo contrario, tome una unidad no $a$ , si $f$ fuera un polinomio tendríamos $f(a)\equiv f(0)\bmod (a)$ .

Answer 2

Su función no está bien definida; ¿qué significa tomar un producto de infinitos elementos de un anillo? Además, es totalmente posible tener una función polinómica no nula sobre un anillo que tenga infinitas raíces. Por ejemplo, dejemos que $F$ sea su campo favorito de tamaño $>2$ y considerar el anillo $$R=F[x_1,x_2,\dots]\big/(x_1^2-x_1,x_2^2-x_2,\dots).$$ El grado $2$ polinomio $t^2-t\in R[t]$ entonces tiene infinitas raíces en $R$ pero no es idénticamente cero, ya que los únicos elementos idempotentes de $F$ son $0$ y $1$ y $|F|>2$ .

Aquí hay un argumento diferente: en cada polinomio con coeficientes de $R$ sólo elementos finitos de $R$ aparecen. Por lo tanto, ya que $R$ es infinito, el anillo polinómico $R[t]$ tiene cardinalidad $|R|$ . Por otro lado, el número de funciones de $R$ a sí mismo tiene cardinalidad $|R|^{|R|}$ y por Teorema de Cantor este cardenal es estrictamente mayor que $|R|$ . En particular, debe haber funciones de $R$ a $R$ que no son expresables como polinomios, y esto da el resultado deseado.

Para un ejemplo muy manejable, consideremos el automorfismo de $\mathbb{C}$ dada por la conjugación compleja. Como ejercicio, intenta demostrar que este automorfismo no puede expresarse como un mapa polinómico de $\mathbb{C}$ a sí mismo. (Sugerencia: dividir un polinomio con coeficientes en $\mathbb{C}$ en sus partes "reales" e "imaginarias").